Değişen Varyans

Değişen varyans, istatistik ve ekonometrik modellerde, özellikle regresyon analizlerinde karşılaşılan önemli bir sorundur. Klasik doğrusal regresyon modelinin temel varsayımlarından biri, hata terimlerinin sabit varyansa (homoskedastisite) sahip olmasıdır. Eğer hata terimlerinin varyansı sabit değilse, yani gözlemler arasında varyans değişiyorsa bu duruma değişen varyans (heteroskedastisite) adı verilir.

Kuramsal Arka Plan

Sabit varyans varsayımı altında hata terimlerinin varyansı tüm gözlemler için eşittir:

Bu varsayım ihlal edildiğinde, klasik En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicileri yansız ve tutarlı olmaya devam etse de artık etkin (minimum varyanslı) değildir. Bu da tahminlerin güvenilirliğini azaltır, standart hata ve istatistiksel testlerin (t, F testleri) geçersizleşmesine yol açar.

Ortaya Çıkma Nedenleri

Değişen varyansın birçok nedeni olabilir:

1. Model dışı bırakılmış önemli değişkenler,
2. Kesit verilerinde yaygın biçimde görülen yapısal çeşitlilik (örneğin gelir düzeyleri arasında harcama farklılıkları),
3. Zaman serilerinde mevsimsellik,
4. Hatalı tanımlanmış bağımlı değişkenler,
5. Farklı yapıda alt gruplardan oluşan örneklemler (heterojen anakütle)

Saptama Yöntemleri

Değişen varyansın tespitinde hem grafiksel hem de istatistiksel testler kullanılır. En sık kullanılan yöntemler:

• White Testi,
• Breusch-Pagan-Godfrey Testi,
• Park Testi,
• Goldfeld-Quandt Testi,
• Glejser Testi,
• Grafiksel Dağılım İncelemesi (tahmin hataları vs. tahminler)

Örneğin, White testinde artıkların kareleri orijinal bağımsız değişkenler, bunların kareleri ve çapraz çarpımları üzerinde regresyona tabi tutulur. Eğer elde edilen nR^2 istatistiği belirli bir ki-kare kritik değerini aşarsa, sabit varyans hipotezi reddedilir.

Çözüm Yöntemleri

Ağırlıklı En Küçük Kareler (AEKK)

Değişen varyansın en bilinen çözüm yolu, hata terimlerinin varyanslarına ters orantılı ağırlıklar verilerek EKK'nin yeniden uygulanmasıdır. AEKK yöntemi, varyansı sabitleyerek etkinlik koşulunu yeniden sağlar:

Burada W, hata terimlerinin ters varyanslarına göre oluşturulan ağırlık matrisidir.

Dönüşüm Uygulamaları

Veri dönüşümleriyle varyans sabitlemeye çalışılır. En sık başvurulan yöntemler:

• Logaritmik dönüşüm (Y* = lnY),
• Karekök dönüşüm (Y* = √Y),
• Ters dönüşüm (Y* = 1/Y),
• Arcsin dönüşümü (özellikle oran verilerinde)

Koşullu Varyans Modelleri (ARCH/GARCH)

Zaman serisi analizlerinde değişen varyansa özel olarak geliştirilen modeller arasında ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) ve GARCH (Generalized ARCH) öne çıkar. Engle (1982) tarafından geliştirilen ARCH modeli, varyansı geçmiş hata terimlerinin karelerine bağlarken; Bollerslev (1986) tarafından geliştirilen GARCH modeli, varyansı hem geçmiş hata terimlerine hem de geçmiş varyanslara bağlamaktadır.