Fourier dönüşümü, bir fonksiyonun (genellikle zaman veya uzayda tanımlı bir sinyalin) frekans bileşenlerine ayrılmasını sağlayan matematiksel bir araçtır. İsmini Fransız matematikçi Jean-Baptiste Joseph Fourier’den alan bu dönüşüm, mühendislikten istatistiğe kadar birçok alanda temel analiz yöntemlerinden biridir. Matematiksel olarak:

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-i \omega t} \, dt$

Burada:

• $f(t)$: zaman domeninde sinyal
• $F(ω)$: frekans domeninde temsil
• $\omega$: açısal frekans (rad/s)

Zamandan Frekansa Geçiş

Zaman domenindeki sinyaller, genellikle karmaşık görünür. Ancak Fourier dönüşümü bu sinyali farklı frekanslarda basit dalgalara (sinüs/kosinüs) ayırır.

_{Zaman ve Frekans Domeni Karşılaştırması (Yapay Zeka ile Oluşturulmuştur)}

Matematiksel Özellikler ve Teoremler

Parseval Teoremi

Sinyalin zaman domenindeki enerjisi, frekans domenindeki enerjisine eşittir:

$\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 \, d\omega$

Konvolüsyon Özelliği

İki fonksiyonun zaman domenindeki konvolüsyonu, frekans domeninde çarpıma dönüşür:

$f(t) * g(t) \xleftrightarrow{\mathcal{F}} F(\omega) \cdot G(\omega)$

Bu, sistem tepkilerinin analizinde kullanılır.

Sinyal Örnekleri ile Fourier Dönüşümü

Kare Dalga

Zaman domeninde periyodik bir kare dalga, frekans domeninde harmonik bileşenler içerir (Fourier serisi yaklaşımı).

_{Kare Dalga Zaman Domeni - Yapay Zeka ile üretilmiştir.}

_{Kare Dalga Frekans Domeni (Yapay Zeka ile Oluşturulmuştur)}

Bu spektrum, sinyalde yalnızca tek sayılı harmoniklerin bulunduğunu gösterir.

Gauss Fonksiyonu

$f(t) = e^{-t^2}$

Fourier dönüşümü yine Gauss fonksiyonudur:

$F(\omega) = \sqrt{\pi} \cdot e^{ - \frac{\omega^2}{4} }$

Bu özellik, Gauss fonksiyonlarını hem zaman hem frekans domeninde "ideal" kılar.

Karakteristik Fonksiyonlar ile İlişki

Olasılık kuramında Fourier dönüşümünün istatistiksel karşılığı karakteristik fonksiyondur:

$\phi_X(t) = \mathbb{E} \left[ e^{itX} \right]$

Örnek: Normal Dağılım

Eğer $𝑋∼𝑁(𝜇,𝜎^2)$ ise:

$\phi_X(t) = \exp \left( i\mu t - \frac{1}{2} \sigma^2 t^2 \right)$

Bu dönüşüm, dağılımın momentlerini taşır. Özellikle Levy Süreklilik Teoremi ve Merkezi Limit Teoremi gibi sonuçların kanıtında kullanılır.

Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) ve FFT

Bilgisayarda Fourier dönüşümünü uygulamak için sinyalin ayrık versiyonu alınır. Bu durumda:

$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-2\pi i \cdot \frac{kn}{N}}, \quad k = 0, 1, ..., N-1$

FFT (Fast Fourier Transform)

DFT’nin hesaplamasını hızlandıran algoritmadır. Zaman karmaşıklığını $O(N^2 )$'den $O(NlogN)$'ye düşürür.

Örnek Uygulama:

• Ses sinyali üzerindeki FFT analizi, hangi frekansların yoğun olduğunu gösterir.
• Görüntü işleme uygulamalarında görüntüdeki desenlerin spektral analizi yapılır.

Uygulama Alanları