Minkowski Mesafesi

Minkowski mesafesi, iki nokta arasındaki düz veya eğri yolu ölçmek için kullanılır. Minkowski mesafesi, Hermann Minkowski adlı Alman matematikçinin adını taşıyan ve normlu vektör uzaylarında kullanılan çok yönlü bir metriktir. Bazı yaygın mesafe ölçülerini genelleştirdiği için matematik, bilgisayar bilimi ve veri analizi gibi çeşitli alanlarda önemli bir kavramdır.

Temelinde, Minkowski mesafesi çok boyutlu bir uzayda iki nokta arasındaki mesafeyi ölçmek için bir yol sunar. $p$ parametresi, Minkowski mesafesinin farklı sorun alanlarına ve veri özelliklerine uyum sağlamasına olanak tanır.

Genel $x$ ve $y$ iki noktası arasındaki $d(x,y)$Minkowski mesafesi formülü :

$d(x,y)={\left({\sum }_{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p\right)}^{1/p}$

Burada:

• $x$ ve $y$ $n$ boyutlu uzayda iki noktadır.
• $p$, mesafe türünü belirleyen bir parametredir.
• $|x_i-y_i|$, her bir boyuttaki koordinatlar arasındaki mutlak farkı temsil eder.

$p$ parametresi, bileşenler arasındaki farklılıkların metrik üzerindeki etkisini kontrol eder:

• $p=1$: Manhattan mesafesini temsil eder ve tüm farklar doğrusal olarak katkıda bulunur.
• $p=2$: Öklid mesafesini temsil eder ve daha büyük farklar, karesel artış sebebiyle daha büyük bir etkiye sahiptir.
• $p>2$: Daha büyük farklılıklara daha fazla vurgu yapılır.
• $p\to \infty$: Chebyshev Mesafesini temsil eder ve sadece en büyük fark önemlidir.

Calgary şehrinde yaşayan kardiyak kateterizasyon hastalarının ikamet yerlerinden hastaneye olan mesafeyi tahmin etmek amacıyla Minkowski metriği incelenmiştir. Öklid ve Manhattan mesafeleri yanında Minkowski metriğinde farklı $p$ paremetreleri değerleri analiz edilmiştir. Sonuçlar, yol mesafesini en iyi tahmin eden Minkowski katsayısının 1.54, seyahat süresini en iyi tahmin edenin ise 1.31 olduğunu gösterir. Bu çalışma, Minkowski mesafesini kullanarak daha güvenilir mesafe tahminleri elde edilmesi ve bu yöntemle ilişkili sosyo-ekonomik faktörlerin belirlenmesi açısından önemli bilgiler sunmaktadır.

^{Yol mesafesi ve mesafe metriklerinin görsel açıklaması (}Pmc⁾

$d(x,y)={\left({\sum }_{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p\right)}^{1/p}$