Monty Hall Problemi, olasılık teorisinin en çarpıcı ve sezgilere meydan okuyan örneklerinden biridir. Adını,1960'larda yayınlanan Amerikan televizyon programı Let's Make a Deal'in sunucusu Monty Hall'dan alır. Bu problem, yalnızca matematiksel bir bulmaca olmanın ötesinde, insan sezgilerinin olasılık hesaplamaları karşısındaki yetersizliğini de gözler önüne serer.​

Problem Tanımı

Monty Hall Problemi şu şekilde tanımlanır:​

• Bir yarışmacının önünde üç kapı vardır. Bu kapılardan birinin arkasında bir araba (ödül), diğer ikisinin arkasında ise birer keçi (boş ödül) bulunmaktadır.
• Yarışmacı, bu kapılardan birini seçer (örneğin, Kapı 1).
• Sunucu, yarışmacının seçmediği kapılardan birini açar ve arkasında keçi olduğunu gösterir (örneğin, Kapı 3).
• Sunucu, yarışmacıya seçimini değiştirme (örneğin, Kapı 2'ye geçme) fırsatı sunar.​ Bu noktada, yarışmacının seçimini değiştirmesi mi yoksa ilk seçimini koruması mı daha avantajlıdır?

^{(Yapay zeka ile oluşturulmuştur.)}

Çoğu insan, sunucunun bir keçi gösterdiği anda geriye kalan iki kapının eşit olasılıkla (1/2) araba içerdiğini düşünerek, seçimini değiştirmenin veya korumanın fark yaratmayacağı sonucuna varır. Ancak bu sezgisel yaklaşım yanlıştır. Matematiksel olarak, seçimi değiştirmek kazanma olasılığını artırır.

Matematiksel Çözüm

Başlangıçta, yarışmacının doğru kapıyı seçme olasılığı 1/3'tür. Dolayısıyla, yanlış kapıyı seçme olasılığı 2/3'tür. Sunucu, her zaman keçi içeren bir kapıyı açtığı için, yarışmacının ilk seçimi yanlışsa (ki bu %66,7 olasılıkla doğrudur), diğer kapının arkasında araba bulunmaktadır. Bu nedenle, seçimi değiştirmek kazanma olasılığını 2/3'e çıkarır.​

Bayes Teoremi ile Açıklama

Bayes Teoremi, koşullu olasılıkları hesaplamak için kullanılır ve Monty Hall Problemi'ni daha derinlemesine anlamamıza yardımcı olur. Yarışmacının ilk seçimi doğruysa (1/3 olasılık), sunucunun açacağı kapı rastgele seçilir. Ancak ilk seçim yanlışsa (2/3 olasılık), sunucunun açacağı kapı belirlenmiştir. Bu bilgi, Bayes Teoremi ile analiz edildiğinde, seçimi değiştirmenin daha yüksek kazanma olasılığı sunduğu sonucuna ulaşılır.

​Simülasyonlar ve Deneysel Kanıtlar

Monty Hall Problemi'nin çözümünü anlamak için bilgisayar simülasyonları da kullanılabilir. Örneğin, Python programlama dili ile yapılan simülasyonlarda, seçimi değiştiren yarışmacıların yaklaşık %66,7 oranında kazandığı gözlemlenmiştir. Bu sonuçlar, teorik hesaplamalarla uyumludur ve seçimi değiştirmenin avantajını deneysel olarak da doğrular.​

Psikolojik Perspektif

Monty Hall Problemi, insan psikolojisinin olasılık hesaplamaları karşısındaki zorluklarını da ortaya koyar. Birçok insan, sezgisel olarak iki seçenek arasında eşit olasılık olduğunu düşünür ve bu nedenle seçimini değiştirmez. Ancak deneyler, insanların bu problemde sistematik olarak yanlış kararlar verdiğini göstermiştir.​

Alternatif bir senaryoda, sunucu yarışmacıya keçi olan kapıyı açıkça göstermeksizin, doğrudan tek bir kapı yerine diğer iki kapıyı birlikte seçme fırsatı sunsaydı, yarışmacıların çoğu, bu iki kapıdan birinde otomobil bulunma olasılığı daha yüksek olduğu için (%66,7), ilk seçimlerini korumak yerine sunucunun teklifini kabul etmeye daha istekli olabilirdi. Lakin burada keçi olan kapının açılması da insanlar üzerindeki psikolojik etkisini göstermektedir.

Monty Hall Problemi, basit bir oyun senaryosu üzerinden karmaşık olasılık teorisi kavramlarını ve insan sezgilerinin sınırlılıklarını gözler önüne serer. Matematiksel analizler ve deneysel simülasyonlar, seçimi değiştirmenin kazanma olasılığını artırdığını açıkça göstermektedir. Bu problem, olasılık teorisinin yanı sıra, insan psikolojisi ve karar verme süreçleri üzerine de önemli dersler sunar.