Taşınan kanepe problemi (İngilizce moving sofa problem), iki boyutlu Öklidyen uzayda formüle edilen ve çözümü günümüzde hâlen kesin olarak bilinmeyen bir geometrik optimizasyon problemidir. Problem, bir kanepeyi dik açılı bir koridor köşesinden döndürerek geçirme durumunda, kanepe şeklindeki düzlemsel cismin alabileceği en büyük alanı bulmayı amaçlar. Buradaki “kanepe”, geometrik olarak döndürülüp kaydırılabilen herhangi bir iki boyutlu şekildir.

Problem, 1966 yılında matematikçi Leo Moser tarafından formüle edilmiştir. O tarihten itibaren hem teorik matematikçiler hem de uygulamalı geometriyle ilgilenen araştırmacılar için dikkat çekici bir problem alanı olmuştur.

Matematiksel Çerçeve

Problem genellikle şu şekilde ifade edilir:

90°'lik bir köşeden oluşan, birim genişliğe sahip iki dik koridorun kesişiminde, döndürmeye ve kaydırmaya izin verilerek geçirilebilecek en büyük alanlı iki boyutlu şekil nedir?

Burada amaç, bu şeklin alanını maksimum yapacak şekilde bir kanepe şekli tanımlamaktır. Şeklin boyutu değil, sadece alanı ve geçiş uygunluğu dikkate alınır. Problemin zorluk seviyesi, çözüm aralığında çok sayıda geçerli şekil bulunması ve bu şekillerin dönüş, çarpışma ve sınır koşullarıyla kısıtlanmasından kaynaklanmaktadır.

Bilinen Sonuçlar

Henüz problem için kesin çözüm bulunamamıştır. Ancak çeşitli alt ve üst sınırlar belirlenmiştir:

• Alt sınır (lower bound): 1992 yılında Joseph Gerver, alana yaklaşık 2.2195 birim kare olan karmaşık bir şekil önermiştir. Gerver’in şekli, 18 parabolik yaydan oluşmakta ve bugüne kadar bulunan en büyük alana sahip geçerli kanepe şekli olarak bilinmektedir.

^{Taşınan Kanepe Problemi için Gerver'in Çözüm Önerisi Benzetimi (Yapay Zeka İle Oluşturulmuştur.)}

• Üst sınır (upper bound): 2018 yılında Dan Romik ve ekip arkadaşları, kanepe probleminin üst sınırını sayısal yöntemlerle yaklaşık 2.37 olarak belirlemişlerdir. Bu, geçerli hiçbir şeklin bu değeri aşamayacağını göstermektedir.

^{Taşınan Kanepe Problemi için Romik'in Çözüm Önerisi Benzetimi (Yapay Zeka İle Oluşturulmuştur.)}

Türev Problemler

Problemin bir varyantı da “piyano taşıma problemi” (İngilizce sofa mover’s problem) olarak bilinir. Bu versiyonda sadece şeklin boyutu değil, aynı zamanda taşıma rotası da optimize edilmek istenir. Ayrıca, dik olmayan koridorlar, dar geçitler veya çoklu köşeler gibi daha karmaşık versiyonlar da araştırma konusu olmuştur.

Uygulama Alanları ve Matematiksel Önemi

Taşınan kanepe problemi, sadece kuramsal ilgiyle sınırlı kalmaz; robotik, hareket planlaması, dar alanlarda yönlendirme algoritmaları ve yapay zekâ destekli taşıma simülasyonlarında da analoji olarak kullanılmaktadır. Ayrıca, geometri, analiz ve hesaplamalı optimizasyon gibi farklı matematik alt alanlarını bir araya getirmesiyle dikkat çeker.