Wavelet dönüşümü (dalgacık dönüşümü), klasik Fourier dönüşümüne alternatif olarak geliştirilmiş, zaman-frekans düzleminde lokal bilgi sağlayan bir yöntemdir. Fourier dönüşümünün global yapısı, zamanla değişen sinyallerin analizinde sınırlı kalırken; wavelet dönüşümü sinyali farklı zaman ve frekans bantlarına ayırarak lokal analiz yapabilmektedir.

Wavelet dönüşümünde kullanılan temel yapı taşları, “anne wavelet” olarak bilinen bir temel fonksiyonun farklı zaman kaymaları ve ölçeklemeleriyle elde edilen fonksiyonlardır. Bu yaklaşım sayesinde sinyal, düşük frekans bileşenlerinde daha yüksek zaman çözünürlüğü ve yüksek frekans bileşenlerinde daha yüksek frekans çözünürlüğü ile temsil edilir.

Diskret (ayrık) wavelet dönüşümü (DWT), sayısal sinyal işleme uygulamalarında en yaygın kullanılan biçimdir. Sinyal, ardışık olarak düşük geçiren ve yüksek geçiren filtrelerden geçirilerek çok seviyeli ayrıştırmaya tabi tutulur. Bu ayrıştırma, hem detay bilgilerini (yüksek frekans) hem de yaklaşık bilgileri (düşük frekans) ayrı ayrı elde etme olanağı sağlar.

Wavelet Dönüşümünün Sinyal Onarımındaki Rolü

Bozulmuş ya da eksik veri içeren sinyallerin yeniden yapılandırılması, özellikle tıbbi, konuşma ve radar sinyali gibi kritik öneme sahip alanlarda hayati bir gereksinimdir. Wavelet dönüşümünün çok bantlı analiz kabiliyeti, bu tür onarım uygulamalarında sinyalin özelliklerini koruyarak yeniden yapılandırma imkânı sunmaktadır.

Wavelet temelli onarım işlemlerinde genellikle şu adımlar izlenir:

• Wavelet Ayrıştırması: Sinyal, uygun bir wavelet fonksiyonu kullanılarak çok seviyeli olarak ayrıştırılır.
• Eksik/bozuk bileşenlerin tespiti: Ayrıştırılmış sinyallerde bozulmuş bölümler lokalize edilir.
• Sıkıştırılmış temsillerin kullanımı: Sparsity (seyreklik) varsayımına dayalı yaklaşımlar ile eksik bileşenler tahmin edilir.
• Ters Wavelet Dönüşümü: Onarılan bileşenler ile birlikte sinyalin orijinal uzaydaki hali yeniden inşa edilir.

Bu işlemler esnasında wavelet dönüşümünün lokal doğası sayesinde yalnızca bozulmuş bölgeler üzerinde işlem yapılır, böylece geri kalan sağlam bölgelerin bütünlüğü korunur.

Dalgacık Tabanlı Sık Temsil ve Sparsity Temelli Yöntemler

Wavelet dönüşümünün sinyal onarımı uygulamalarındaki başarısının altında yatan temel unsur, sinyallerin wavelet uzayında seyreklik (sparsity) göstermesidir. Seyrek gösterim, sinyalin büyük bir kısmının sıfır veya sıfıra yakın katsayılarla temsil edilebilmesidir.

Bu özellik, eksik veri noktalarının yeniden inşasında Bayesian öğrenme, en küçük kareler (least squares) veya L1 norm tabanlı optimizasyon yöntemleriyle birlikte kullanılabilir. Örneğin, Arulmozhi ve Thangavelu (2017) tarafından geliştirilen wavelet sözlük temelli yöntem, elektrokardiyogram (EKG) sinyallerinin kompakt ve hatasız temsiline olanak sağlamaktadır.

Benzer şekilde, Sahidullah ve Saha (2014) tarafından önerilen Block Sparse Bayesian Learning (BSBL) algoritması, konuşma sinyallerinde kayıp örneklerin başarılı bir şekilde geri kazanılmasında yüksek performans göstermiştir. BSBL, sinyalin blok yapısını da dikkate alarak seyreklik temelli bir öğrenme algoritmasıdır ve wavelet uzayında yüksek doğrulukla sonuç verir.

Gerçek Hayat Uygulamaları: Tıbbi ve Konuşma Sinyali Onarımı

Wavelet dönüşümünün sinyal onarımındaki pratik uygulamaları özellikle tıbbi sinyal işleme ve ses/speech alanında önemli başarılar elde etmiştir. Tıbbi verilerdeki eksik örneklerin onarımı hastalık teşhisinde doğruluğu artırırken; ses sinyallerindeki onarımlar ise kaydedilen konuşmanın anlaşılırlığını artırmaktadır.

Elektrokardiyogram (EKG) Sinyalleri

EKG sinyalleri, kalp ritminin analizinde kullanılan zaman serileridir. Bu sinyallerin gürültüden arındırılması ve eksik örneklerinin onarılması, doğru teşhis açısından kritiktir. Arulmozhi ve Thangavelu’nun (2017) çalışması, DWT tabanlı wavelet sözlüklerinin bu alanda oldukça başarılı sonuçlar verdiğini göstermiştir.

Konuşma Sinyalleri

Gürültülü ortamlarda kaydedilen konuşmalar ya da kayıp veriler içeren ses sinyalleri, BSBL algoritması gibi wavelet tabanlı yöntemlerle başarılı şekilde onarılabilir. Bu sayede ses sinyali üzerindeki bozulmaların büyük kısmı giderilmekte ve orijinal kaliteye yakın bir yeniden yapılandırma sağlanmaktadır.

Karşılaştırmalı Performans ve Zorluklar

Wavelet temelli onarım teknikleri, Fourier ya da istatistiksel tabanlı yaklaşımlara kıyasla daha yüksek doğruluk ve lokal kontrol imkânı sunmaktadır. Bununla birlikte, doğru wavelet fonksiyonunun seçimi ve dönüşüm seviyelerinin belirlenmesi performansı doğrudan etkilemektedir.

Wavelet tabanlı tekniklerin performansını etkileyen başlıca faktörler:

• Wavelet Türü: Haar, Daubechies, Symlets gibi wavelet türleri arasında seçim yapmak, farklı sinyal türlerine göre değişmektedir.
• Ayrıştırma Seviyesi: Daha fazla seviye, daha fazla detay anlamına gelir; ancak hesaplama maliyeti de artar.
• Gürültü Seviyesi: Gürültünün yapısı ve seviyesi, wavelet temelli tekniklerin başarısını etkiler.
• Seyreklik Varsayımı: Sinyalin wavelet uzayında gerçekten seyreklik göstermesi gerekmektedir.

Wavelet dönüşümü, sinyallerin hem frekans hem de zaman düzleminde ayrıntılı analizine olanak tanıyan güçlü bir araçtır. Sinyal onarımı uygulamalarında wavelet dönüşümünün kullanımı, seyreklik temelli algoritmalarla birleştiğinde oldukça etkili sonuçlar vermektedir. EKG ve konuşma sinyalleri gibi kritik uygulamalarda, wavelet temelli onarım teknikleri hem doğruluk hem de işlem süresi açısından avantajlar sunmaktadır. Ancak başarılı bir uygulama için doğru wavelet seçimi, uygun seviye ayrıştırması ve parametrik optimizasyon büyük önem taşımaktadır.