Wiener Filtresi

Wiener filtresi, sinyal işleme ve görüntüleme alanlarında kullanılan optimizasyon tabanlı bir filtreleme tekniğidir. Şekil 1 ile de gösterildiği üzere gürültüyle bozulan bir sinyalin veya görüntünün, orijinaline en yakın hâle getirilmesi amacıyla geliştirilmiştir. Bu teknik, özellikle radar, tıbbi görüntüleme ve telekomünikasyon gibi alanlarda yaygın olarak uygulanmaktadır. Temel prensibi, ortamdaki sinyaller hakkında önceden bilinen istatistiksel bilgileri kullanarak ortalama kareler hatasını (MSE, Ing. Mean Squared Error) minimuma indiren en uygun tahmini yapmaktır. Bir bakıma bu filtre, “geçmişte sinyal nasıl davranmış” diye bakarak, gelecekte nasıl davranacağını tahmin eder. Wiener Filtresi içerisinde matematiksel olarak aşağıdaki iki ifadenin anlaşılması önemlidir.

1. Otokorelasyon: Bu, bir sinyalin kendi geçmişiyle ne kadar benzerlik gösterdiğini ölçer. Örneğin bir ses kaydında bir önceki ses dalgası, sonraki ses hakkında ipucu verir mi?
2. Çapraz korelasyon: Bu da temiz sinyal ile bozulmuş (gürültülü) sinyal arasındaki ilişkiyi inceler. Yani temiz sinyal ile gürültüyle kirlenmiş sinyal arasındaki benzerliği bulmaya çalışır.

Filtreleme işleminin işe yaraması için, sinyalin ve gürültünün belirli istatistiksel özellikleri daha önceden bilinmelidir.

^{Şekil 1. Tek boyutlu bir sinyalin Wiener Filtresi ile gürültüden arındırılması}

Wiener Filtresi, doğrusal ve zamanla değişmeyen bir filtredir. Gürültü eklenmiş veya zamanda ötelenmiş bir sinyalin aslını kestirmek için kullanılır. Bu sebeple filtre olarak anılsa da tahminleme için de kullanılabilmektedir. Wiener Filtresi tasarımında giriş sinyali $x[n]$ için aşağıdaki özellikler kabul edilir.

1. $x[n]$ “geniş anlamda istasyoner (durağan)” özelliğe sahiptir. Yani sinyalin varyans ve beklenen değeri sabit ve sonlu, otokorelasyon fonksiyonu ise sadece zaman kaymasının bir fonksiyonudur.
2. Bütün sinyallerin (giriş, çıkış ve gürültüler) beklenen değeri sıfırdır.

Wiener filtresi sürekli zamanlı – ayrık zamanlı ve nedensel – nedensel olmayan olmak üzere farklı kategorilerde tasarlanabilir.

Wiener Filtresi, 1942 yılında Norbert Wiener tarafından geliştirilmiştir. Wiener, bu yöntemi radar sinyallerindeki gürültüyü azaltmak amacıyla tasarlamıştır. Sonrasında bu teknik elektronik ve alanlarında da benimsenmiş, zamanla dijital sinyal ve görüntü işleme uygulamalarına da uyarlanmıştır.

Kullanım Alanları

1. Sinyal İşleme: Gürültülü ortamlarda alınan radar ve sonar sinyallerinin iyileştirilmesinde kullanılır. Örneğin, denizaltı sonar sistemlerinde hedeflerin tespiti için uygulanır.
2. Görüntü İşleme: Dijital görüntülerde gürültüyü azaltmak ve ayrıntıları ortaya çıkarmak için yaygın olarak tercih edilir (Şekil 2). Özellikle tıbbi görüntüleme cihazlarında (MRI ve CT) başarıyla kullanılır.
3. Telekomünikasyon: Gürültü nedeniyle bozulan veri sinyallerinin hata oranını azaltmak için tercih edilir.
4. Ses İşleme: Gürültüden etkilenmiş ses kayıtlarını iyileştirmek ve anlaşılabilirliğini artırmak için uygulanır.

^{Şekil 2. Wiener Filtresi ile görüntü işleme neticesinde elde edilen sonuç}

Tasarlanan sistem temsili olarak Şekil 3 ile gösterilmiştir. Burada $y[n]$ sinyali, $\hat{y}[n]$ ise kestirilmiş sinyali eder. $x[n]$ ise giriş sinyalini temsil eder. MSE şu şekilde tanımlanır:

$MSE=E[e^2[n]]=E[(\hat{y}[n]-y[n]{)}^2]=E[{\hat{y}}^2[n]]-2E[y[n]\hat{y}[n]]+E[y^2[n]]={\Phi }_{\hat{y}\hat{y}}[0]-2{\Phi }_{y\hat{y}}[0]+{\Phi }_{yy}[0]$

$E[\cdot ]$ beklenen değer operatörü, ${\Phi }_{\hat{y}\hat{y}}$ ve ${\Phi }_{yy}$ otokorelasyon ${\Phi }_{y\hat{y}}$ çapraz korelasyon sinyalidir. Şekil 3 ile gösterildiği üzere $\hat{y}[n]$ sinyali, $x[n]$ sinyalinin $h[n]$ sistemine girişi sonucu oluşmuştur. Bu işlem örnekleme zamanı uzayında konvolüsyon ile şu şekilde ifade edilir:

$\hat{y}[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]x[n-m]$

^{Şekil 3:  Doğrusal ve zamanla değişmeyen (Ing. Linear Time Invariant, LTI), ayrık zamanlı nedensel olma şartı olmayan Wiener filtresi,} $h[n]$^.

Bu bilgiler ışığında MSE değerini oluşturan otokorelasyon ve çapraz korelasyon değerleri aşağıdaki gibi bulunur:

${\Phi }_{y\hat{y}}[0]=E[y[n]\hat{y}[n]]=E[\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]x[n-m]y[n]]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]{\Phi }_{xy}[m]$

${\Phi }_{\hat{y}\hat{y}}[0]=[\hat{y}[n]\hat{y}[n]]=E[\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]x[n-m]\sum _{l=-\infty }^{\infty }h[l]x[n-l]]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{l=-\infty }^{\infty }h[m]h[l]{\Phi }_{xx}[l-m]$

Bulunan otokorelasyon ve çapraz korelasyon değerleri ile MSE tekrar derlenir,

$MSE={\Phi }_{yy}[0]-2\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]{\Phi }_{xy}[m]+\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{l=-\infty }^{\infty }h[m]h[l]{\Phi }_{xx}[l-m]$

MSE’nin h sistemine göre birinci ve ikinci türevlerini alalım

$\frac{dMSE}{dh[n_i]}=-2{\Phi }_{xy}\left[n_i\right]+2\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]{\Phi }_{xx}[n_i-m]$

$\frac{d^2\mathrm{MSE}}{dh[n_i{]}^2}=2{\Phi }_{xx}[0]$

${\Phi }_{xx}[0]=E[x^2[n]]$ otokorelasyon fonksiyonu görüldüğü üzere kuadratik formdadır ve bu sebeple ya sıfır ya da pozitiftir. Bu durumda MSE konveks bir fonksiyondur. MSE konveks bir fonksiyon olduğu için türevinin sıfıra eşit olduğu nokta MSE’nin minimum olduğu noktadır. Bu özelliği kullanarak minimum MSE şartı şu şekilde bulunur:

$-2{\Phi }_{xy}[n_i]+2{\sum }_{m=-\infty }^{\infty }h[m]{\Phi }_{xx}[n_i-m]=0,\forall n_i$

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]{\Phi }_{xx}[n_i-m]={\Phi }_{xy}[n]$

Yukarıdaki denklem konvolüsyon operatörü ile kapalı formda yazılabilir.

$h[n]\ast {\Phi }_{xx}[n]={\Phi }_{xy}[n]$

Kolaylık için z uzayına geçiş yapılır. Zaman uzayındaki korelasyon fonksiyonlarının Z dönüşümü, Laplace dönüşümü ve Fourrier dönüşümü spektral güç fonksiyonunu, $S(\cdot )$ , verir.

$H(z)S_{xx}(z)=S_{xy}(z)$

$H(z)=S_{xy}(z)S_{xx}^{-1}(z)$

Böylece genel anlamda Wiener filtresi tasarlanmış olur. Wiener filtresini aynı şekilde Laplace uzayında da yazabiliriz:

$H(s)=S_{xy}(s)S_{xx}^{-1}(s)$

Böylece Laplace ve z uzayında tasarlanan filtreleri sırasıyla sürekli ve ayrık zaman uzayına dönüştürebiliriz.

Örnek

_{Şekil 4: Dpğrusal ve zamanla değişmeyen (LTI), ayrık zamanlı nedensel olma şartı olmayan Wiener filtresi örneği. Tüm sinyaller genel anlamda istasyonerdir ve} $y[n]$ _{sinyali ile} $v[n]$ _{arasında korelasyon yoktur.}

Şekil 4 ile gösterilen örnekte $y[n]$ ile $v[n]$ arasında bir korelasyon yoktur ve tüm sinyaller genel anlamda istasyoner (WSS), $h[n]$ ise Wiener filtresidir. Daha önce Wiener filtresinin $z$ uzayında

$H(z)=S_{xy}(z)S_{xx}^{-1}(z)$ olarak bulmuştuk. Sırasıyla $S_{xy}(z)$ ve $S_{xx}^{-1}(z)$ şu şekilde hesaplanır:

${\Phi }_{xx}[k]=E[x[n]x[n+k]]$

$=E\left[\right(y[n]+v[n]\left)\right(y[n+k]+v[n+k]\left)\right]$

$=E[y[n]y[n+k]]+E[y[n]v[n+k]]+E[v[n]y[n+k]]+E[v[n]v[n+k]]$

$={\Phi }_{yy}[k]+0+0+{\Phi }_{vv}[k]$

$S_{xx}(z)=S_{yy}(z)+S_{vv}(z)$

${\Phi }_{xy}[k]=E[x[n]y[n+k]]$

$=E\left[\right(y[n]+v[n])y[n+k]]=E[y[n]y[n+k]]+E[v[n]y[n+k]]$

$={\Phi }_{yy}[k]+0$

$S_{xy}(z)=S_{yy}(z)$

Böylece Wiener filtresi aşağıdaki gibi bulunur:

$H(z)=S_{xy}(z)S_{xx}^{-1}(z)=\frac{S_{yy}(z)}{S_{yy}(z)+S_{vv}(z)}$

Gürültüden etkilenmiş bir sinyali veya görüntüyü optimize etmek için hem giriş sinyalinin hem de gürültünün güç spektral yoğunluğunu kullanır. Wiener filtresi, sinyal ve gürültü oranının (Ing. Signal to Noise Ratio, SNR) yüksek olduğu frekanslarda sinyali koruyarak, düşük SNR'li frekanslarda gürültüyü bastırır.

Nedensel Wiener tasarımı için Shannon ve Bode tarafından geliştirilen yaklaşım kullanılabilir:

1. Giriş sinyalinin otokorelasyonu bulunur ve kararlı olan kutup ve sıfırları, ${\Phi }_{xx}^{++}[k]$ , kararlı olmayan kutup ve sıfırlardan, ${\Phi }_{xx}^{--}[k]$ , ayrılır.
2. ${\Phi }_{xx}^{++}[k]$ ve ${\Phi }_{xx}^{--}[k]$ sırasıyla $Z$ veya Laplace uzayına, $S_{xx}^{++}$ ve $S_{xx}^{--}$ dönüştürülür.
3. Kararlı olan sistemin tersi alınır, $\frac{1}{S_{xx}^{++}(z)}$ ve beyazlatıcı filtre elde edilir.
4. Kararsız olan sistem ile yeni bir filtre oluşturulur, $\hat{h}=\frac{S_{xy}(z)}{S_{xx}^{--}(z)}$
5. $\hat{h}$ filtresi zaman uzayına dönüştürülür ve kararlı olan kısımlar ayrıştırılır. Ardından kararlı olan kısım Z veya Laplace uzayına dönüştürülür, $\hat{h}=\frac{S_{xy}(z)}{S_{xx}^{--}(z)}$ .
6. Nedensel Wiener filtresi şu şekilde elde edilir: ${\hat{h}}^{+}=\frac{1}{S_{xx}^{++}(z)}{\left[\frac{S_{xy}(z)}{S_{xx}^{--}(z)}\right]}^{+}$ .

Avantajlar:

- Minimum kareler hatasıyla (MSE) en iyi sonucu sağlar.

- Hem analog hem de dijital uygulamalarda kullanılabilir.

- Gürültü seviyesi ile sinyalin güç spektral yoğunluklarının önceden bilindiği durumlarda yüksek başarı oranına sahiptir.

Sınırlamalar:

- Sinyal ve gürültünün istatistiksel özelliklerinin tam olarak bilinmesi gerekir.

- Güç spektral yoğunluklarının yanlış tahmin edilmesi durumunda, filtreleme hatalı olabilir.

- Karmaşık hesaplama gereksinimleri nedeniyle gerçek zamanlı uygulamalarda işlem yükü artabilir.

Wiener filtresi, hem zamansal hem de frekans alanında uygulanabilir. Frekans alanındaki uygulama, hızlı Fourier dönüşümü (FFT) kullanılarak gerçekleştirilir. Filtrenin matematiksel işlem adımları şunlardır:

1. Gürültülü sinyalin Fourier dönüşümü alınır.
2. Wiener filtresi ile ağırlıklandırma yapılır.
3. Ters Fourier dönüşümü ile zaman alanına geri dönülür.

Örnek olarak, bir görüntüdeki tuz-biber tipi gürültünün giderilmesi için şu adımlar izlenir:

1. Gürültülü görüntünün güç spektrumu hesaplanır.
2. Gürültünün güç spektral yoğunluğu tahmin edilir.
3. Wiener filtresi uygulanarak görüntü optimize edilir.

Wiener filtresi, gelişen yapay zekâ ve makine öğrenimi teknikleriyle birlikte daha esnek ve dinamik hâle gelmektedir. Özellikle adaptif filtreleme yöntemleri, Wiener filtresini temel alarak, sinyal ve gürültü özelliklerini gerçek zamanlı olarak öğrenip optimize etmektedir. Bu gelişmeler, tıp, otonom araçlar ve uzay teknolojileri gibi alanlarda daha geniş bir uygulama potansiyeli sunmaktadır.