Erzincan'da doğdu. Erzincan'ın eski ve tanınmış ailelerinden olan Cıngıllıoğulları'ndan Yûsuf Ziyâ Bey'in oğludur. Ailesinin çok büyük bir bölümü askerdir. İlk ve ortaöğretimi Erzincan ve Erzurum'daki askerî okullarda tamamladıktan sonra İstanbul'da Mekteb-i Harbiye'yi bitirmiş ardından Erkân-ı Harbiye Mektebi'nden yüzbaşı rütbesiyle mezun olmuştur (1910). İstanbul'un işgal edilmesinden sonra İsmet Paşa (İnönü) ile beraber Anadolu'ya geçmiş ve Millî Mücadele'ye katılmıştır. 26 Haziran 1920'den 1 Aralık 1920'ye kadar Garp Cephesi kurmay başkanlığı yapmıştır. 1 Haziran 1925 tarihinde albaylığa yükselmiş, 1 Mart 1926'da ise kendi isteği ile ordudan emekliye ayrılarak siyaset yapmayı tercih etmiştir. Askerlik hayatı boyunca önemli görevlerde bulunan Arıkan, Millî Mücadele'nin önde gelen isimleriyle birlikte görev yapmıştır.
Ağustos 1923'te Kocaeli milletvekili olarak Türkiye Büyük Millet Meclisi'ne girmiş, 1942'ye kadar aralıksız on dokuz yıl Erzincan (III, IV, V, VI ve VIII. dönem) ve Konya (VII. dönem) milletvekili olarak Türkiye Büyük Millet Meclisi'nde görev yapmıştır. Cumhuriyet Halk Fırkası'nın kurucu üyelerindendir. 1925-1931 yılları arasında Cumhuriyet Halk Fırkası genel sekreterliği yapan Arıkan 1940-1941 yılları arasında da Millî Savunma bakanlığı görevinde bulunmuştur. 1942-1944 yılları arasında Almanya'da Berlin büyükelçisi olarak görev yapmıştır.
Saffet Arıkan'ın Türk eğitim tarihi açısından önemi, Atatürk döneminin en uzun süreli Eğitim bakanı olmasıdır (üç yıl, altı ay, on dokuz gün). Erzincan Milletvekili Zeynel Abidin Özmen'in Doğu İlleri genel müfettişliğine atanmasının ardından 10 Haziran 1935'te o dönemki adıyla "Kültür Bakanlığı" olan Eğitim bakanlığı görevine getirilmiştir. "Kendisinin eğitim ve pedagoji işleri ile meşgul olmadığını, bu konuda uzmanlığının da bulunmadığını" belirterek, "Şeflerim emretti, şimdi geldim göreve başladım" demesinden de anlaşıldığı üzere sadece Atatürk'ün kendisini bu görevde görmek istemesinden ve ona bağlılığından dolayı bu görevi kabul etmiştir (Sorguç, 1987: 41). Bu süreçte de Atatürk'ün direktifleri doğrultusunda görevini sürdürmeye çaba göstermiştir. Atatürk'ün ölümünden sonra İsmet İnönü'nün cumhurbaşkanlığı döneminde çok kısa bir süre (bir ay, on dokuz gün) bu görevini sürdürmüş, Aralık 1938'de rahatsızlığını sebep göstererek görevinden istifa etmiş ve yerine Hasan Âli Yücel atanmıştır (Sakaoğlu, 2003: 232).
Eğitim bakanlığı görevine gelir gelmez Saffet Arıkan'ın yaptığı ilk iş daha önceki bakanların yaptığı gibi Türk eğitim sisteminin sorunlarını belirlemek ve bu yönde somut adımlar atma gayretine girmek olmuştur. Arıkan'ın eğitim hamlelerinde pragmatik (yararcı) bir tutum sergilediği öne sürülmüştür. İlköğretim, ortaöğretim (genel ortaöğretim-meslekî ve teknik ortaöğretim), yükseköğretim alanları üzerinde çalışmalarda bulunmuş, 1936'da köye yönelik öğretmen yetiştirme projesi doğrultusunda "Köy Eğitmeni Projesi"ni başlatmıştır. Onun zamanında yeniden hazırlanan ilköğretim programı ile Cumhuriyet Halk Fırkası'nın amaç ve ilkeleri bütünleştirilmiştir. Böylece bir partinin siyasî ve kültürel ilkeleri bütün ülkenin eğitim hedefi haline gelmiştir. Arıkan döneminde yapılan bu program değişikliği eğitim tarihinin önemli hadiselerinden biridir ve eğitime ideolojik yaklaşım olarak sıklıkla eleştirilmiştir.
Arıkan önce "köy eğitmeni", ardından Köy Öğretmen okullarını kurmasıyla 1940'ta Köy enstitülerine giden yolu açanlardan kabul edilmiştir. Bazılarına göre, köylere öğretmen yetiştirilmesi meselesi, Mustafa Necati'den sonra en çok onun döneminde gündeme gelmiş ve bu konuda somut adımlar atılmıştır (Öztürk, 2007: 250). Üç buçuk sene aralıksız Eğitim bakanlığı yapmasına rağmen onun dönemine görece az faaliyetin yapıldığı söylenebilir. Buna karşın ilkokul sayısında kısmî artışlar vardır. Onun döneminde Ankara Üniversitesi Dil ve Tarih-Coğrafya Fakültesi açılmış, İstanbul'daki Mülkiye Mektebi Ankara'ya taşınarak Siyasal Bilgiler Okulu adıyla müstakil eğitime başlamıştır. İstanbul Üniversitesi'ne bağlı bir İktisat Fakültesi'nin kurulması da bu döneme rastlar.
Uyumlu kişiliği, çevresindekilere saygılı oluşu ve kibarlığı ile tanınmıştır. "Arıkan" soyadını ona Atatürk vermiştir. Hiç evlenmemiş 1947'de Ankara'da vefat etmiştir. Atatürk döneminde ve uzun süre Eğitim bakanlığı yapmış olmasına rağmen halef ve selefi olan Eğitim bakanları Mustafa Necati ve Hasan Âli Yücel arasında çok hatırlanan biri olamadığı görülmektedir. Eğitim bakanlığı dönemi faaliyetleri üzerine geniş çaplı bir araştırmanın olmadığı da söylenebilir.