Büyük Sayılar Yasası

Olasılık teorisi, rastgele olayların matematiksel incelenmesini sağlayan bir alan olup istatistik ve veri bilimi gibi disiplinlerin temelini oluşturur. Olasılık teorisinin en önemli teoremlerinden biri Büyük Sayılar Yasası'dır. Bu yasa, uzun vadede bir olayın ortalama sonuçlarının beklenen değere yaklaşacağını ifade eder.

Büyük Sayılar Yasası

Büyük Sayılar Yasası (LLN - Law of Large Numbers), bir rastgele deney yeterince fazla kez tekrarlandığında, deneyin ortalama sonuçlarının teorik beklenen değere yaklaşacağını söylemektedir. Yani, tek tek denemelerde büyük farklılıklar olabilir ancak tekrar sayısı arttıkça ortalama, gerçek olasılığa daha da yaklaşır.

Matematiksel olarak, X rastgele bir değişken olsun ve beklenen değeri E(X) olarak tanımlayalım. X₁, X₂, X₃, ..., Xₙ birbirinden bağımsız ve aynı olasılık dağılımına sahip değişkenler olsun. Bu durumda, bu değişkenlerin aritmetik ortalaması

X̄ₙ = (X₁ + X₂ + ... + Xₙ) / n

eğer n sonsuza yaklaşırsa, beklenen değere (µ) yaklaşır:

lim(n → ∞) X̄ₙ = μ

Bu, zaman içinde gözlenen ortalamanın gerçek ortalamaya yakın olacağını garantileyen bir istatistiksel ilkedir.

Günlük hayattan basit bir örnek ile açıklamak istenirse, bir madeni para düzgün bir şekilde atıldığında, yazı veya tura gelme olasılığı %50’dir. Ancak, eğer sadece 10 defa para atılırsa, 7 tura ve 3 yazı gibi bir sonuç elde edilebilir. Bu durum, doğal sapmalar nedeniyle gerçek olasılıktan farklı olabilir. Ancak eğer 1.000 veya 10.000 defa para atılırsa, yazı ve tura oranının 0.5’e yaklaşacağı görülür. Bu durum, Büyük Sayılar Yasası’nın en güzel örneklerinden biridir: Deney tekrarlandıkça ortalama, gerçek beklenen değere yaklaşır.

Büyük Sayılar Yasası’nın Gerçek Hayattaki Kullanım Alanları

1. Sigortacılık: Sigorta şirketleri, büyük bir nüfus grubunda belirli olayların olasılığını tahmin etmek için bu yasayı kullanır.
2. Kumar ve Bahis: Kumarhaneler, uzun vadede evin avantajlı olduğunu gösterir. Tek tek oyunlarda oyuncular kazanabilir, ancak büyük örneklemler ele alındığında kumarhaneler kazançlı çıkar.
3. Anketler ve Seçim Tahminleri: Çok sayıda kişinin görüşü alındığında, toplumun gerçek fikrine yakın sonuçlar elde edilir.
4. Kalite Kontrol: Fabrikalarda rastgele örnekleme ile büyük ölçekte ürün kalitesini tahmin etmek mümkün olur.