Cebir, aritmetiğin bir genellemesidir ve şu üç durum için kuralları koyar: Öncelikle günlük kelimelerin matematiğin sembolik biçimine çevrilmesi, bu sembolik biçimleri kullanarak matematiksel ifadelerin formüle edilmesi, oluşan ifadenin doğruluğunu sabit kılacak şekilde anlaşılırlığının arttırılması. Temel cebirin önemi, sayıların yerine değişkenleri koymasından kaynaklanır. Böylelikle problemler matematik sembolleri cinsinden ifade edilmiş ve bu sembollerin kullanımı için genel kurallar ortaya konulmuş olur. Temel cebirin daha ileri bir genellemesi olan, genellikle aritmetiğe çok az benzeyen ve soyut cebir adı verilen başka bir türü vardır. Soyut cebir elemanları bir veya daha fazla ikili işlem altında birleştirilebilen kümeler hakkında birkaç temel varsayımla başlar ve ilk varsayımları karşılayan bütün kümeler için geçerli olan teoremler türetir. Bir üçüncü yaygın cebir türü de doğrusal (lineer) cebirdir. Doğrusal cebir, temel cebirden elde edilen tekniklerin doğrusal denklem sistemlerinin çözümüne kadar genişletilmesini içerir. Doğrusal bir denklem, x ve y gibi iki değişkenin yalnız hallerinin dışındaki hallerini (mesela xy, x2, y2) içermeyen bir denklemdir. Bir denklem sistemi, aynı değişkenleri içeren iki veya daha fazla denklem kümesidir. Bunlar iki veya daha fazla bilinmeyen miktarın mevcut olduğu durumlarda ortaya çıkarlar.
Batı dillerine algebra olarak geçen cebirin, Kitâbü'l-Muhtasar fî Hisâbi'l-Cebr ve'l-Mukabele adlı eserle ayrı bir bilim olarak kurulduğu konusunda pek çok bilim adamının görüş birliği vardır. Eser, asıl adı Muhammed Mûsâ Hârizmî (780-847) olan VIII. yüzyılda Özbekistan'ın Hârizm şehrinde dünyaya gelen Türk-İslam bilginine aittir. Eserin müellifi kitabın önsözünde Halife Me'mûn'un isteği doğrultusunda miras, ölçü, alışveriş ve arazi ölçümü gibi konularda insanların problemlerine çözüm sunacak bir özet ortaya koyduğunu ifade eder. Kitabın isminde geçen cebir kelimesiyle, eşitliğin bir tarafında bulunan negatif bir terimin karşı tarafa eklenmesiyle yok edilmesini içeren matematik işlemi kastedilirken; mukabele kelimesiyle eşitliğin her iki tarafından aynı terimlerin çıkarılmasını içeren matematik işlemi ifade edilmektedir. Arapça'da cebr "zorlama" anlamına karşılık gelmektedir. Bu anlamdan hareketle Salîbâ (1973), yukarıda belirtilen matematik işlemlerinin cebir ilminin sınırlarını daraltacağı gerekçesiyle, Karecî'ye ait cebir tanımının özünü oluşturan, bilinmeyeni problemin şartlarına uygun bilinen değerin alanına yaklaşmaya zorlayan her türlü süreç veya işlemin cebir olarak adlandırılabileceğini ifade etmiştir. Ebû Bekir Muhammed Karecî, Hârizmî'nin cebir alanındaki çalışmalarını geliştirerek cebire "bilinenler yardımıyla bilinmeyenin bulunmasını sağlayan bir hesaplama usulü" tanımını kazandıran X ve XI. yüzyıllarda Bağdat'ta yaşamış Türk-İslam bilginidir (Gökdoğan, 2002: 277).
Geometrinin gelişiminde önemli katkıları olan Mısırlılar'ın cebirin temel özelliklerine dair bilgi sahibi oldukları ancak çok sınırlı düzeyde kaldıkları söylenebilir. Matematikte 60 sayı tabanını kullanan Bâbilliler ise üçüncü dereceye kadar olan bazı denklemlerin çözümlerini gerçekleştirmişlerdir. Buna rağmen o dönemde de cebirin sistemli bir halde olduğu söylenemez. Çünkü çözümü gerçekleştirilen denklemler geometriye ya da cebire dayalı ispattan yoksundur. Benzer şekilde Hint kültüründe de cebir iyi temellendirilmiş bir ispat anlayışına dayanmayan kurallar bütününden meydana geliyordu. Grek matematiğinde de cebirin gerçek mahiyetiyle ortaya koyulduğu söylenemez. Sonradan Arapça'ya tercümesi yapılan, III. yüzyılda yaşadığı düşünülen ve diofant denklemlerin babası olarak bilinen Antik Yunan matematikçisi Diophantus'un Aritmetica adlı eserinde rastlanan cebirsel temellere ve bazı cebir terimleri için kullanılan sembollere rağmen sunulan problemler için genelleştirilmiş bir çözüm sunmadığı tespit edilmiştir.
Tarihte ilk defa cebir kelimesini isminde barındıran yukarıda da ismi zikredilen Kitâbü'l-Muhtasar fî Hisâbi'l-Cebr ve'l-Mukabele eseriyle cebir problemleri, geometrik ölçümler ve miras bölümlerine dayandırdığı altı cebir formülünü ortaya koyarak Hârizmî kendisinden sonraki İslam ve Avrupa medeniyetlerindeki matematiğe bir temel sunar. Hârizmî bu eserinde bilinmeyeni karşılamak için "şey" kelimesini kullanmıştır. "Sıfır" sayısını ilk kullanan kişi olan Hârizmî, matematik öğretimi için de önemli katkılar yapmıştır. Hârizmî'nin cebir konusundaki çalışmaları o dönemde ikinci dereceden denklemlerle ilgilidir. Ortaçağ döneminde de cebirin üçüncü ve daha az dereceden denklemlerin çözümüyle sınırlı olduğu bilinmektedir. Ancak Hârizmî'den sonraki dönemde Nîşâbur'un yerlisi olan Ömer Hayyâm'ın (ö. 1132) kübik denklemleri çözmek için geometrik yöntemleri kullandığı kayıtlarda mevcuttur. Hârizmî, Karecî ve Ömer Hayyâm gibi matematikçiler ileride cebir öğretimi ve konusunda yetişecek kişilere temel oluşturacak bilgiler hazırlamışlardır.
Hârizmî, Karecî ve Ömer Hayyâm'dan sonraki dönemlerde sayıları belirtmek için harflerin ve sembollerin kullanılmasına dair bazı girişimler söz konusu olsa da cebirsel gösterim (notasyon) XVI. yüzyılda Fransız F. Viète'nin (1540-1603) Tours'da 1591 yılında yayımlanan In artem analyticam isagoge adlı çalışmasıyla matematiğe kazandırılmıştır. Bundan sonraki dönemlerde cebir artık matematik yapılarının ve farklı disiplinlerin teorilerini ifade eden bağımsız bir yapı halini alır. Günümüzde cebir matematiğin farklı araştırma alanları başta olmak üzere, fizikten kimyaya; mühendislikten ekonomiye pek çok farklı alanda etkin bir şekilde kullanılmaktadır.
Kaput'a göre (1999) genellemeleri ve bu genellemelerin artan şekilde biçimsel dille ifadesini içeren cebir, matematiğin temeli olan genellemenin yapılmasını sağlayan yegâne unsur ve kaynak dildir. Cebirsel muhakeme, sayılar ve işlemlerle genellemeler oluşturmayı, bu düşünceleri anlamlı sembol sistemleri kullanarak biçimsel hale getirmeyi içermektedir.
Özellikle ayrı bir öğrenme alanı olarak cebir farklı ülkelerin matematik öğretim programlarında yer almaktadır. Ortaokul, lise ve üniversitede öğretilen matematiğin öğretim programlarında ağırlıklı olarak cebir kavramları ve konuları mevcuttur. Matematik eğitiminde önemli görülen matematiksel iletişim, problem çözme becerisi ve matematiksel modelleme için cebirsel muhakemenin geliştirilmesi önem arzetmektedir.