Erzurum’da doğdu. Zeynel Camii hatibi Müderris Ali Efendi’nin oğludur. Küçük yaşta hâfız oldu. İlk tahsilinden sonra devrin büyük âlimlerinden “Yetim Hoca” diye bilinen Mustafa Efendi’nin derslerine devam edip icâzetnâme aldı (1911). Açılan bir imtihanı kazanarak Zeynel Camii yanındaki Halil Efendi Medresesi müderrisliğine tayin edildi (1917). Erzurum’da Dârülhilâfe Mektebi’nin açılmasıyla burada ma‘lûmât-ı hukūkıyye, ulûm-ı dîniyye, Arapça, tefsir ve hadis hocalığı, bir ara da bu mektebin müdürlüğünü yaptı (1918-1924).
Dârülhilâfe Mektebi’nin kapanması üzerine fahrî olarak dârülhuffâz muallimliğinde bulundu ve yüzlerce hâfız yetiştirdi (1924-1943). 1943’te Erzurum müftü müsevvidliği görevine getirildi. Bir ara Erzincan müftü vekilliği de yapan Sakıp Danışman 1948 yılında Erzurum bölge vâizliğine tayin edildi. 1960’ta Erzurum müftüsü oldu ve ölümüne kadar bu görevini sürdürdü.
Sakıp Danışman Arapça ve Farsça’nın inceliklerine vâkıf, dinî ilimler ve özellikle ferâiz konusunda derin bilgi sahibiydi. Ayrıca takvâsı ile tanınmıştı. Kırk beş yıl aralıksız Ayas Paşa Camii’nde hatimle sabah ve teravih namazlarını kıldırmış, hocası Mustafa Efendi’nin medresesinde kırk yılı aşkın bir süre ders vermiş ve çok sayıda öğrenci yetiştirmiştir.
Sakıp Danışman’ın hutbelerini, konferanslarını, fetvalarını ve çeşitli makalelerini topladığı Sohbetler ile Kehf sûresinin sonuna kadar yazdığı Kur’ân-ı Kerîm Meâli ve Tefsiri adlı basılmamış iki eseri vardır.
Üç dönem Erzurum milletvekilliği, ayrıca Ulaştırma ve Kültür bakanlıkları yapmış olan Rıfkı Danışman Sakıp Danışman’ın oğludur.