En Küçük Kareler Yöntemi (EKK)

En Küçük Kareler Yöntemi (EKK), bir regresyon modelinde gözlemlenen veriler ile model tarafından tahmin edilen değerler arasındaki farkların karelerinin toplamını minimize etmeye dayalı bir istatistiksel tekniktir. Bu yöntem, özellikle doğrusal regresyon analizlerinde en yaygın kullanılan tahmin yöntemidir ve ekonometrik modellemede sıklıkla tercih edilir.

Temel Kavramlar

En küçük kareler yöntemi, bağımlı (y) ve bağımsız (x) değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi modellemeye çalışırken, gözlemlenen değer ile tahmin edilen değer arasındaki farkı minimize etmeyi amaçlar. Bu farkların karelerinin toplamı, modelin hata karelerinin toplamı olarak bilinir. Yöntem, bu toplamı en küçük hale getirecek olan regresyon doğrusu veya fonksiyonunu bulmaya çalışır.

Bir doğrusal regresyon modeli şu şekilde ifade edilebilir:

yi​=β0​+β1​xi​+ϵi​

Burada:

• yi​ = gözlemlenen bağımlı değişken,
• xi​ = bağımsız değişken,
• ​ β0= sabit terim (intercept)
• ​β1 = regresyon katsayısı
• ϵi​ = hata terimi (modelin tahmininin gözlemlerden ne kadar saptığını gösteren fark).

En Küçük Kareler Yönteminin Adımları

1. Model Kurulumu: Regresyon modelinin doğrusal formunu belirleyin. Genellikle, bir bağımlı değişkenin (y) bir veya birden fazla bağımsız değişkenin (x) fonksiyonu olarak ifade edilir.
2. Hata Terimleri: Her bir gözlem için modelin tahmin ettiği değeri ile gözlemlenen değeri arasındaki fark (hata terimi) hesaplanır.
3. Karelerin Toplamı: Hata terimlerinin kareleri alınarak toplam hata kareleri hesaplanır.
4. Minimizasyon: Hata karelerinin toplamını minimize etmek için regresyon katsayıları (β0,β1) bulunur. Bu katsayılar, modelin en iyi uyum sağlamasını sağlayan değerlerdir.

En Küçük Kareler Yönteminin Sınırlamaları

• Doğrusal İlişki Varsayımı: Yöntem yalnızca doğrusal ilişkiler için geçerlidir. Eğer veri setinde doğrusal olmayan bir ilişki varsa, sonuçlar yanıltıcı olabilir.
• Hataların Bağımsızlığı ve Sabit Varyans: Hata terimlerinin bağımsız ve sabit varyansa sahip olması gerektiği varsayımı altında çalışır. Bu koşullar sağlanmadığında, modelin güvenilirliği azalabilir.
• Aykırı Değerler: Aykırı değerler (outliers), hata karelerinin büyüklüğü nedeniyle modelin tahminlerini etkileyebilir. Bu durum, sonuçları yanlış yönlendirebilir.

En Küçük Kareler Yönteminin Avantajları

• En küçük kareler yöntemi, uygulanması oldukça basit bir yöntemdir ve genellikle doğrusal regresyon analizlerinde kullanılır. Veri setleri üzerinde hızlı bir şekilde hesaplama yapılarak, doğru bir model elde edilebilir. Modern ekonometrik yazılımlar (örneğin, STATA, EViews, R, Python) EKK'yı kolayca uygular.
• Bu yöntem, modelin gözlemlerle en iyi şekilde uyum sağlamasını amaçlar. Hata karelerinin toplamını minimize ederek, modelin tahminlerinin doğru olmasını sağlar. Bu, sonuçların güvenilirliğini artırır.
• EKK, istatistiksel olarak sağlam bir temele sahiptir. Birçok varsayım altında doğru sonuçlar verir (özellikle hata terimlerinin bağımsız ve sabit varyansa sahip olması durumunda). Ayrıca, bu yöntemle elde edilen regresyon katsayıları, anlamlılık testleri ve güven aralıkları gibi istatistiksel ölçütler sayesinde analiz sonuçları daha güvenilir hale gelir.
• En küçük kareler yöntemi, ekonometrik modellerde parametrelerin tahmin edilmesinde yaygın olarak kullanılır. Özellikle ekonomik ilişkilerin doğrusal olduğuna inanılan durumlarda doğru parametre tahminleri sağlar. Bu tahminler, politika yapıcılar ve araştırmacılar için yol gösterici olabilir.
• En küçük kareler yöntemi, pek çok alanda, özellikle ekonometrik modellemede, sosyal bilimlerde ve mühendislik alanlarında yaygın olarak kullanılır. Çeşitli model türlerinde uygulanabilir, çünkü doğrusal ve çoklu doğrusal regresyon modelleri gibi farklı formasyonlarda çalışabilir.
• EKK ile elde edilen regresyon katsayıları genellikle ekonomik anlam taşıyan, yorumlanabilir sonuçlar sağlar. Örneğin, bağımsız değişkenlerin bağımlı değişken üzerindeki etkileri doğrudan ölçülebilir ve açıklanabilir. Bu, politika önerileri ve ekonomik analizler için faydalıdır.
• Geleneksel olarak, EKK'nın sonuçları aykırı değerlere duyarlı olsa da, bu konuda iyileştirici adımlar ve model uyarlamaları (örneğin, ağırlıklı en küçük kareler) yapılabilir. Aykırı değerlerin etkisi, uygun veri temizleme teknikleriyle azaltılabilir.
• EKK, çok sayıda gözlem ve bağımsız değişkenin bulunduğu büyük veri setlerinde de etkili bir şekilde uygulanabilir. Bunun yanında, yüksek frekanslı veri analizi gibi daha kompleks veri setleriyle de çalışmak mümkündür.