Matematikte fonksiyon, boş kümeden farklı iki küme arasında, birinci kümenin her bir elemanını ikinci kümenin yalnızca bir elemanıyla eşleyen bir kural veya ilişkidir. Genellikle f: A → B şeklinde gösterilir. Bu gösterimde A kümesi fonksiyonun tanım kümesini, B kümesi ise değer kümesini ifade eder. Tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki karşılıklarının oluşturduğu kümeye ise görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir. Görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir (f(A) ⊆ B). Fonksiyonlar, ürettikleri çıktılara, tanım ve görüntü kümeleri arasındaki ilişkiye ve cebirsel özelliklerine göre çeşitli türlere ayrılır. Bu sınıflandırma, matematiksel analiz ve problem çözümünde temel bir rol oynar.

Bire Bir Fonksiyon (Enjektif Fonksiyon)

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her bir farklı elemanın görüntüsü, tanım kümesindeki diğer elemanların görüntülerinden farklıysa bu fonksiyona bire bir fonksiyon denir. Matematiksel olarak, f: A → B fonksiyonu için, tanım kümesinden alınan her x₁ ve x₂ elemanı için (∀x₁, x₂ ∈ A), eğer x₁ ≠ x₂ iken f(x₁) ≠ f(x₂) koşulu sağlanıyorsa veya f(x₁) = f(x₂) iken x₁ = x₂ oluyorsa, f fonksiyonu bire birdir. Bu, değer kümesindeki her bir elemanın, tanım kümesinden en fazla bir elemanla eşleştiği anlamına gelir.

Bir fonksiyonun grafiğinin bire bir olup olmadığını anlamak için yatay doğru testi uygulanır. Grafiğe, x eksenine paralel doğrular çizildiğinde, bu doğruların her biri grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir. Eğer en az bir yatay doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, fonksiyon bire bir değildir.

Örnek: f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3 fonksiyonu bire birdir. Çünkü tanım kümesinden alınacak farklı x değerleri için (örneğin x₁=1, x₂=2), görüntüler de her zaman farklı olacaktır (f(1)=5, f(2)=7).

Örten Fonksiyon (Sürjektif Fonksiyon)

Bir fonksiyonun değer kümesindeki her elemana karşılık, tanım kümesinde en az bir eleman bulunuyorsa, yani değer kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa, bu fonksiyona örten fonksiyon denir. Diğer bir ifadeyle, bir fonksiyonun görüntü kümesi değer kümesine eşitse (f(A) = B), fonksiyon örtendir. Bu, değer kümesindeki her elemanın, tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olduğu anlamına gelir.

Yatay doğru testi örtenlik için kullanılmaz; örtenlik, fonksiyonun görüntü kümesinin değer kümesine eşit olup olmadığına bakılarak belirlenir. Değer kümesi aralığında x eksenine paralel olarak çizilen tüm yatay doğrular, fonksiyonun grafiğini en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir. Eğer grafiği kesmeyen bir yatay doğru varsa, fonksiyon örten değildir.

Örnek: f: ℝ → ℝ, f(x) = x³ fonksiyonu örtendir. Çünkü değer kümesindeki (ℝ) her bir y değeri için, y = x³ denklemini sağlayan bir x (x = ³√y) değeri tanım kümesinde (ℝ) mevcuttur.

İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyonlara içine fonksiyon denir. Bir f: A → B fonksiyonunda, değer kümesinde en az bir eleman açıkta kalıyorsa, yani tanım kümesindeki hiçbir elemanla eşleşmiyorsa, o fonksiyon içine fonksiyondur. Bu durumda, görüntü kümesi değer kümesinin bir öz alt kümesidir (f(A) ≠ B). Bir fonksiyon ya örtendir ya da içinedir.

Örnek: f: ℝ → ℝ, f(x) = x² fonksiyonu içine bir fonksiyondur. Çünkü değer kümesi tüm gerçel sayılar (ℝ) olmasına rağmen, görüntü kümesi yalnızca negatif olmayan gerçel sayılardır ([0, ∞)). Değer kümesindeki negatif sayılar (örneğin -1) açıkta kalır.

Bire Bir ve Örten Fonksiyon (Bijektif Fonksiyon)

Hem bire bir hem de örten olan fonksiyonlara bire bir ve örten fonksiyon veya bijektif fonksiyon denir. Bu tür fonksiyonlarda, tanım kümesindeki her eleman değer kümesindeki farklı bir elemanla eşleşir ve değer kümesinde açıkta eleman kalmaz. Bire bir ve örten fonksiyonlar, tanım ve değer kümeleri arasında mükemmel bir eşleşme sağlar. Bu fonksiyonlar terslenebilir özelliktedir ve permütasyon fonksiyonu olarak da adlandırılırlar.

Birim Fonksiyon (Özdeşlik Fonksiyonu)

Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir ve genellikle I ile gösterilir. A boş olmayan bir küme olmak üzere, I: A → A, I(x) = x şeklinde tanımlanır. Birim fonksiyonda bir elemanın görüntüsü daima kendisidir. f(x) = x fonksiyonunun grafiği, koordinat düzleminde birinci açıortay doğrusu olarak bilinen y = x doğrusudur.

Örnek: f(x) birim fonksiyon ise f(5) = 5 ve f(3x - 2) = 3x - 2 olur.

Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları, değer kümesindeki yalnızca bir elemanla eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir. f: A → B fonksiyonunda, c ∈ B olmak üzere, tanım kümesindeki her x elemanı için (∀x ∈ A) f(x) = c ise, f sabit bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun kuralı değişkenden (x'ten) bağımsızdır. Grafiği, x eksenine paralel bir doğrudur.

Örnek: f: ℝ → ℝ, f(x) = 7 fonksiyonu bir sabit fonksiyondur. Tanım kümesindeki tüm x değerleri için fonksiyonun sonucu daima 7'dir. f(1)=7, f(-100)=7.

Sıfır Fonksiyonu

Sabit fonksiyonun özel bir durumu olan sıfır fonksiyonu, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki 0 elemanıyla eşler. Yani, f(x) = 0 şeklindedir.

Doğrusal Fonksiyon

a ve b gerçel sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere, f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b biçiminde tanımlanan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. Bu fonksiyonların grafikleri analitik düzlemde bir doğru belirtir. 'a' katsayısı doğrunun eğimini, 'b' ise y eksenini kestiği noktayı (ordinatı) verir.

Örnek: f(x) = 3x - 5 bir doğrusal fonksiyondur. Bu fonksiyonun grafiği, eğimi 3 olan ve y eksenini -5 noktasında kesen bir doğrudur.

Parçalı Fonksiyon

Tanım kümesinin ayrık alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Fonksiyonun kuralının değiştiği noktalara kritik noktalar denir. Parçalı bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki değerini bulmak için, o noktanın tanım kümesinin hangi alt aralığına ait olduğu belirlenir ve o aralık için geçerli olan kural kullanılır.

Örnek: f(x) = { x+2, x < 0; x², 0 ≤ x < 5; 4x, x ≥ 5 } şeklinde tanımlanan fonksiyon parçalı bir fonksiyondur. f(-3) değerini bulmak için x < 0 kuralı kullanılır:

f(-3) = -3 + 2 = -1. f(4) değerini bulmak için 0 ≤ x < 5 kuralı kullanılır: f(4) = 4² = 16.

Tek ve Çift Fonksiyonlar

Fonksiyonlar, simetri özelliklerine göre tek veya çift olarak sınıflandırılabilir. Bu sınıflandırma genellikle tanım kümesi orijine göre simetrik olan (yani, x ∈ A ise -x ∈ A olan) fonksiyonlar için yapılır.

Çift Fonksiyon

Her x ∈ A için f(-x) = f(x) koşulunu sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon denir. Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.

Örnek: f(x) = x² + 1 bir çift fonksiyondur, çünkü f(-x) = (-x)² + 1 = x² + 1 = f(x).

Tek Fonksiyon

Her x ∈ A için f(-x) = -f(x) koşulunu sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon denir. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

Örnek: f(x) = x³ bir tek fonksiyondur, çünkü f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x).

Eşit Fonksiyonlar

Tanım ve değer kümeleri aynı olan ve tanım kümesindeki her bir eleman için aynı görüntüleri üreten fonksiyonlara eşit fonksiyonlar denir. f: A → B ve g: A → B fonksiyonları için, her x ∈ A için f(x) = g(x) ise f ve g fonksiyonları eşittir (f = g).

Örnek: A = {-1, 1} olmak üzere, f: A → ℝ, f(x) = x³ ve g: A → ℝ, g(x) = x fonksiyonları eşittir. Çünkü f(-1) = -1, g(-1) = -1 ve f(1) = 1, g(1) = 1'dir.

Bileşke Fonksiyon

A, B, C boş olmayan kümeler olmak üzere, f: A → B ve g: B → C fonksiyonları verildiğinde, A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen yeni fonksiyona f ile g'nin bileşke fonksiyonu denir ve (g o f) şeklinde gösterilir. (g o f)(x) = g(f(x)) olarak tanımlanır. Bu işlemde, önce f fonksiyonu uygulanır, elde edilen çıktı g fonksiyonuna girdi olarak verilir.

Örnek: f(x) = x + 2 ve g(x) = 3x ise, (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = 3(x + 2) = 3x + 6 olur.

Ters Fonksiyon

Bire bir ve örten (bijektif) bir f: A → B fonksiyonunun ters fonksiyonu, f⁻¹: B → A şeklinde tanımlanır ve değer kümesindeki elemanları tanım kümesindeki asıl karşılıklarına geri götürür. Eğer y = f(x) ise, x = f⁻¹(y) olur. Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için orijinal fonksiyonun mutlaka bire bir ve örten olması gerekir. Bir fonksiyonun tersini bulmak için genellikle y = f(x) denkleminde x yalnız bırakılır, ardından x yerine f⁻¹(x) ve y yerine x yazılır.

Periyodik Fonksiyon

Grafiği ve aldığı değerler, x ekseni boyunca düzenli aralıklarla kendini tekrar eden fonksiyonlara periyodik fonksiyon denir. T, sıfırdan farklı bir sabit sayı olmak üzere, fonksiyonun tanım kümesindeki her x değeri için f(x + T) = f(x) koşulunu sağlayan en küçük pozitif T sayısına fonksiyonun periyodu denir. Trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs vb.) periyodik fonksiyonların en bilinen örnekleridir.