Kalman filtresi, özellikle gürültülü ya da belirsiz ölçümlere dayanarak sistemlerin durumlarını tahmin etmek için kullanılan bir matematiksel algoritmadır. Rudolf E. Kálmán tarafından 1960 yılında geliştirilen bu yöntem, kontrol sistemleri, navigasyon, robotik, finansal modelleme ve görüntü işleme gibi birçok alanda uygulanmaktadır.

Genel Tanım

Kalman filtresi, bir dizi ölçümden (genellikle zaman serisi) bir sistemin durumunu tahmin ederken, ölçümlerdeki hata ve sistem modelindeki belirsizlikleri en aza indirmek için tasarlanmıştır. Algoritma, bir sistemin mevcut durumunu belirlemek ve gelecekteki durumunu tahmin etmek için hem ölçüm verilerine hem de bir matematiksel modele dayanır.

Çalışma Prensibi

Kalman filtresi, iki temel adım içerir:

1. Tahmin (Predict):
2. Sistem modeline dayanarak, bir önceki durumdan hareketle sistemin bir sonraki durumu tahmin edilir.
3. Bu adımda, sistemin dinamik modeli ve kontrol girdileri dikkate alınır.
4. Güncelleme (Update):
5. Yeni ölçüm verileri alındığında, bu veriler kullanılarak tahmin güncellenir.
6. Ölçümlerdeki ve modeldeki belirsizlikler (gürültüler) dikkate alınarak en iyi tahmin yapılır.

Matematiksel Model

Bir sistemin dinamikleri genellikle şu denklemlerle ifade edilir:

Durum Denklemi:

Ölçüm Denklemi:

Filtreleme Adımları:

1) Tahmin Adımı:

2) Güncelleme Adımı:

Avantajları ve Sınırlamaları

Avantajlar:

• Gerçek zamanlı durum tahmini yapabilir.
• Gürültülü ölçümlerle çalışabilir.
• Matematiksel olarak optimal tahmin sağlar (belirli koşullar altında).

Sınırlamalar:

• Sistem ve gürültü modellerinin doğru olması gereklidir.
• Doğrusal olmayan sistemlerde performansı düşebilir (Bu durumlarda genişletilmiş Kalman filtresi veya parçacık filtresi kullanılabilir).

Uygulama Alanları

• Havacılık: Uçuş kontrol sistemleri ve navigasyon.
• Robotik: Robotların pozisyon ve hız tahmini.
• Finans: Zaman serisi analizi ve tahmini.
• Görüntü İşleme: Nesne takibi.
• Sağlık: Tıbbi cihazlarda sinyal işleme.

Kalman filtresi, güçlü teorik altyapısı ve uygulama çeşitliliği ile modern mühendislikte önemli bir araçtır.