Kardiyoit, Yunanca kardia (kalp) kelimesinden türetilmiş olup, matematikte ve fiziksel sistemlerde ortaya çıkan, kalbi andıran özel bir eğridir. Bu eğri, r yarıçaplı sabit bir çember etrafında kaymadan yuvarlanan yine r yarıçaplı başka bir çemberin çevresindeki bir noktanın izlediği yol olarak tanımlanır. Aynı zamanda bu tanım, sabit bir çember üzerinde yuvarlanan eş yarıçaplı bir çember üzerindeki herhangi bir noktanın izlediği yörüngeyle de örtüşür. Kardiyoit, özellikle polar koordinat sisteminde belirli bir formülle ifade edilir ve başta matematik olmak üzere akustik ve optik gibi alanlarda da çeşitli uygulamalara sahiptir.

Kardiyoitin Matematiksel Tanımı ve Denklemi

Kardiyoit eğrisi, kutupsal koordinat sisteminde aşağıdaki denklemle ifade edilir:

r=2a(1+cosθ)

Burada:

• r, yarıçap (merkezden uzaklık),
• θ, açısal koordinat,
• a, sabit bir parametredir.

Kartezyen koordinat sisteminde ise kardiyoit denklemi şu şekilde yazılır:

(x² + y² – 2ax)² = 4a²(x² + y²)

Kalp eğrileri arasından denklemi (x² + y² – 1) ³ – x²y³ = 0 biçiminde olan bir tanesini ele alalım.  Bu denklem, bir kalp şekli oluşturur. Ancak bu denklemin sağ tarafındaki değeri sıfırdan bir α parametresine değiştirdiğimizde, farklı eğriler elde edebiliriz.

Yeni denklemimiz (x² + y² – 1) ³ – x²y³ = α biçiminde olsun. α pozitif arttığında, grafik, kalp biçiminden uzaklaşır ve şekil giderek daha yuvarlak, yani bir daireye benzeyen bir görünüme kavuşur. Bu, eğrinin düzleşerek daha simetrik bir hale geldiğini gösterir.

^{Farklı formüllerle oluşturulmuş kardiyoitler (Yapay zeka yardımıyla oluşturulmuştur).}

Kardiyoit Eğrisinin Özellikleri ve Çizimi

1. Simetri: Kardiyoit, yatay eksene göre simetriktir.

2. Teğet Noktaları: Eğrinin tepe noktası orijindedir ve en geniş noktası (2a,0)(2a, 0) noktasındadır.

3. Alan ve Çevre: Kardiyoit eğrisinin kapladığı alan 6πa² ve çevresi 16a olarak hesaplanır.

İlk olarak çapı 17 cm olan bir çember çizilmektedir. Daha sonra bu çember üzerinde eşit aralıklarla 52 nokta belirlenmekte ve bu noktaları 0’dan 51’e kadar numaralandırılmaktadır. Ardından n ile numaralandırılmış her noktayı 2n ile numaralandırılmış nokta ile düz çizgiler kullanarak birleştirilmektedir. 26 numaralı noktadan itibaren noktaların sayı değerlerinin iki katı çember üzerinde bulunamaz. Bu nedenle n=26’dan itibaren, noktaları 2n değerinden 52 çıkararak elde edilen noktalarla birleştirilmektedir. 

^{Kardiyoit'in oluşum şeması. (TÜBİTAK)}

Kardiyoitin Kullanım Alanları

1. Akustik ve Ses Teknolojileri: Mikrofonların yönelme desenlerinde kardiyoit eğrisi sıkça kullanılır. Kardiyoit mikrofonlar, ön taraftan gelen sesleri alırken arka taraftan gelen sesleri minimum düzeyde kaydeder, bu da istenmeyen arka plan gürültüsünü azaltmada etkilidir.

2. Anten ve Radyo Dalga Yayılımı: Radyo antenlerinin tasarımında kardiyoit desenleri, belirli yönlerde sinyal gücünü artırmak için kullanılır. Bu sayede istenen bölgelere daha güçlü sinyal iletimi sağlanır.

3. Optik Sistemler ve Aydınlatma: Işık dağılımını kontrol etmek amacıyla optik sistemlerde kardiyoit şekli kullanılabilir. Özellikle belirli alanların aydınlatılmasında veya ışığın yönlendirilmesinde faydalıdır.

4. Matematik ve Geometri Uygulamaları: Kardiyoit, matematiksel analizlerde ve geometri derslerinde örnek bir eğri olarak incelenir. Eğrinin özellikleri, diferansiyel ve integral hesaplamalarında uygulamalı örnekler sunar.