1915 tarihinde Çanakkale'de dünyaya gelmiştir. Asıl adı Muzaffer Melih'tir. İbrahim Cevdet ve Hatice Nadide çiftinin dördüncü oğludur. İstanbul-Fatih nüfusuna kaydı doğumundan iki yıl sonra, 03.10.1333 tarihinde yapıldığı için, bazı kaynaklarda doğum yeri İstanbul olarak belirtilir. Köklü ve imtiyazlı bir aileden gelir. Büyük dedesi Mehmet Raşit Paşa, Osmanlı ordusunda Mirlivalığa (Tuğgeneral) kadar yükselmiştir ve Osmanlı Devleti'nin ilk eczacı paşası olma özelliğine sahiptir. Büyük amcası Mukim Paşa, II. Abdülhamit'in özel doktoru idi. Mehmet Kadri Anday (d. 1290/1874), tıp eğitimi için gittiği Fransa'da İttihat ve Terakki'nin gizli yazışmalarını düzenleyen önemli bir isimdir. Melih Cevdet'in yetişmesinde ve ailenin Anday soyadını almasında belirleyici olmuştur. Mehmet Kadri Anday, Türk Tıp Tarihi'ndeki ilk çocuk hastalıkları uzmanı ve Çocuk Hekimleri Encümeni'nin (Pediatri Kurumu) kurucu başkanıdır.

İlkokul öğrenimine 1923'te Kadıköy, Mühürdar'da, 35. İlk Mektep'te başlamıştır. Ortaokula Kadıköy Sultanisi'nde devam etmiş, ilk kalem denemelerini "Tepegöz Hayri" adıyla bu yıllarda yapmıştır.

1930'da babasının tayini sebebiyle Ankara'ya gitmiş, ortaokulu ve liseyi Ankara Erkek Lisesi'nde tamamlamıştır. Bu okulda Orhan Veli ve Oktay Rifat ile tanışmış ve Sesimiz dergisinin yazar kadrosuna katılmıştır. 1934'te liseden mezun olduktan sonra Ankara Üniversitesi Hukuk Fakültesi'ne, daha sonra aynı üniversitenin Dil ve Tarih-Coğrafya Fakültesi'ne kaydolmuş ancak yükseköğrenimini tamamlamamıştır.

Yazım hayatına lise yıllarında şiirle başlamıştır. İlk şiirleri olan "Sarı-Siyah" ve "Hatırlama"yı İnkılâp dergisinde yayımlamıştır. Lise arkadaşlarıyla çıkardıkları Sesimiz dergisi de yazın yaşamının ilk yıllarında önemli bir süreli yayındır. Anday'ın bu dergideki ilk yazısı yedinci sayıda yer alır. 1933 Nisan'ından Mayıs 1936'ya kadar farklı süreli yayınlarda 4 şiir yayımlamıştır. Edebiyat kamuoyu karşısına 15 İkinciteşrin (Kasım) 1936 tarihinden itibaren şiir ve yazılarının yayımlanmaya başladığı Varlık dergisi ile çıkmıştır.

Kasım 1936'da Varlık dergisinde yayımlanan "Ukde" isimli şiiri, Garip üçlüsünün bu dergide yayımlanan ilk şiiri olma özelliğini taşır. Garip üçlüsü (Orhan Veli, Oktay Rifat, Melih Cevdet Anday) Nahit Sırrı Örik tarafından Varlık dergisinin sahibi Yaşar Nabi Nayır'a önerilmiş ve "şiirimize getirdikleri yeni hava" ile tanıtılmıştır. Yazdıkları şiirler, ilk kez 15 Eylül 1937 tarihli Varlık dergisinde "Şiirler" genel başlığı altında yayımlanmıştır. Bu sayfa, o tarihte yurt dışında olan Melih Cevdet'e ithaf edilmiştir. Anday'ın Kasım 1937'de yurt dışından dönmesiyle üç şairin ismi Varlık dergisinde bir arada görülmeye başlamıştır.

Mayıs 1941'de Orhan Veli'nin üçlünün şiirlerini Garip adıyla kitaplaştırmasıyla "Garip" ismiyle anılmaya başlamışlardır.

Devlet memurluğundaki ilk görevi, 1 Eylül 1936'dan 17 Ekim 1938'e kadar süren Devlet Demiryolları 2-5 Memurluğudur. Dönemin Millî Eğitim Bakanı Hasan Âli Yücel'in önerisiyle Maarif Matbaası Teknik Büro Şefliği (1942), fotoğrafçılık, Çocuk Neşriyatı İhtisas Müşavirliği (1943), Karşılaştırıcılık ve Müdür Muavinliği gibi çeşitli görevlerde bulunmuştur. 1946 seçimlerinden sonra Ankara Genel Kitaplık Memurluğuna atanmış, bu görevinden 1951'de istifa ederek 21 yıl aradan sonra İstanbul'a dönmüştür.

Eylül 1953'ten itibaren Akşam gazetesinin "Sanat ve Edebiyat" sayfasını yönetmiş, ardından Yapı Kredi Bankası'nın Doğan Kardeş Yayınları'nda kısa bir süre çalışmıştır. 1957'den itibaren Tercüman gazetesinde kendi adıyla, daha sonra Yaşar Tellidede takma adıyla köşe yazıları yazmıştır. Romanlarını da Murat Tek imzasıyla tefrika etmiştir. Çeşitli gazetelerde (Büyük Gazete, Yeni Tanin, İkdam, Vakit, Yeni Memleket, Vatan, Yeni İstanbul, Ulus, Dünya) köşe yazarlığına devam etmiştir. 1954'te başladığı İstanbul Belediyesi Konservatuvarı'nda Tiyatro, Avrupa Edebiyatı, Diksiyon ve Fonetik öğretmenliği yapmıştır.

10 Şubat 1961'den 29 Nisan 1997'ye kadar Cumhuriyet gazetesinde köşe yazarlığı yapmış ve birçok romanını bu gazetede tefrika etmiştir. Türk Edebiyatçılar Birliği Başkanlığı (1963), TRT Yönetim Kurulu Üyeliği (1964-1969) ve UNESCO Genel Merkezi'nde Eğitim Müşavirliği (1979-1980) görevlerinde bulunmuştur. "Tepegöz Hayri, Murat Tek, Yaşar Tellidede, Gani Girgin, Zater, Niyaz Niyazoğlu, Laf Ebesi, H. Mecdi Velet, M.C.A., Melih Cevdet, M. C. Anday, M. Cevdet Anday, Melih C., Melih C. Anday" gibi imzaları kullanmıştır.

Millî Eğitim Bakanlığı'nda birlikte çalıştığı ilk eşi Sabahat Tertemiz ile Ekim 1945'te evlenmiştir. Sabahat Hanım'ı 1956'da kaybetmiştir. Üç yıl sonra Yaşar Gedikoğlu ile evlenmiş, bu evlilikten İdris adında bir oğlu dünyaya gelmiştir. Yaşar Hanım'dan 1983'te boşanmıştır. Üçüncü ve son eşi Suna (Beğensel) Akkan ile 16 Haziran 1983'te evlenmiştir.

Garip Dönemi: Garip kitabıyla vezinsiz, kafiyesiz, günlük dile yaslanan şiir anlayışının temsilcilerinden biri olmuştur.

Garip'ten Kopuş ve Değişim: Tohum adlı şiirinin yayımlanmasıyla başlayan Garip'ten kopuşu, 1960'lı yıllarda belirginleşmiştir. Anday'ın şiirde ulaşmak istediği nokta, 1960'tan sonra bir değişim ile kendini göstermiş ve son şiir kitabı Yağmurun Altında ortaya çıkmıştır. 1960'tan sonraki şiirleri anlamı kolay iletmeyen metinler olarak görüldüğü için Anday bu şiirlere ilişkin açıklayıcı "Ek"ler yazmıştır. Şiirdeki değişimini "İlk şiirlerim ölçülü uyaklı idi; sonra düzencesini (disiplinini) kendine özgü mantığında arayan şiire yöneldim" sözleriyle anlatmıştır.

Romanları: 1960'larda roman türüne yönelmiştir. İlk dönem romanları (Yağmurlu Sokak, Meryem Gibi, Birbirimizi Anlamalıyız) gazetecilikten kaynaklanan günlük ihtiyaçla takma ad kullanarak Tercüman ve Cumhuriyet'te tefrika edilmiştir. Bu romanlarda Cumhuriyet döneminin toplumsal koşulları içinde birey olma/vatandaş olma evreleri ve günlük ilişkiler işlenir. Kendi imzasıyla yayımladığı Aylaklar, romancılığında ikinci dönemi başlatmış ve sonraki romanları Gizli Emir, İsa’nın Güncesi ve Raziye ile devam etmiştir.

Tiyatro Oyunları: Tiyatro türünde de eserler vermiştir. Oyunlarında dramatik durumu oluşturan temel etkenler "zaman" ve "uzam"dır. Yayımlanmış tiyatro eserleri arasında İçerdekiler, Mikado’nun Çöpleri ve Dört Oyun bulunmaktadır. Mikado’nun Çöpleri Bremen Radyosu’nda Almanca seslendirilmiş, İçerdekiler Macarca olarak Macaristan’da sahnelenmiştir.

Denemeleri: Cumhuriyet devri Türk edebiyatı içerisinde bir deneme yazarıdır. Deneme kitapları arasında Doğu-Batı, Konuşarak, Yeni Tanrılar, Dilimiz Üstüne Konuşmalar yer alır.

Çevirileri: Birçok yabancı dilden (Rusça, İngilizce, Fransızca, Farsça, Arapça, Yunanca) değişik türlerde eserler çevirmiştir. Çevirilerini kimi zaman tek başına, kimi zaman ise Orhan Veli, Oktay Rifat, Erol Güney, Sabahattin Eyüboğlu, Mîna Urgan, Vedat Günyol, Hilmi Yavuz, Halit Çakır gibi arkadaşları ve ikinci eşi Yaşar (Gedikoğlu) Anday ile birlikte yapmıştır. Çeviri eserleri arasında Don Juan, Müfettiş (Revizor), Ölü Canlar (Myortve duşı), Batıdan Şiirler, Fareler ve İnsanlar Üzerine, Babalar ve Oğullar gibi eserler bulunur.

Gezi Yazısı: Sovyet Rusya, Azerbaycan, Özbekistan, Bulgaristan, Macaristan adlı bir gezi yazısı kitabı bulunmaktadır.

Hatıra / Anı: Akan Zaman Duran Zaman: Anı adlı bir hatıra kitabı vardır.

Solunum ve böbrek yetmezliği tanısıyla tedavi gördüğü Marmara Üniversitesi Tıp Fakültesi Koşuyolu Hastanesi'nde, 28 Kasım 2002'de vefat etmiştir. Mezarı, Büyükada Mezarlığı'ndadır.