Stokes problemleri, düşük Reynolds sayısına sahip^【1】  akışlarda, viskoz kuvvetlerin baskın olduğu durumlardaki akışkan hareketlerini tanımlayan bir dizi diferansiyel denklemdir. Bu denklemler, özellikle mikroakışkanlar, biyolojik sistemler ve yavaş hareket eden cisimlerin çevresindeki akışlar gibi uygulamalarda temel rol oynar.

Stokes problemleri, Navier-Stokes  denklemlerinin^【2】   viskoz etkilerin baskın olduğu ve ataletin ihmal edilebildiği limitte elde edilen özel durumlarını ifade eder. Bu tür problemler genellikle "lineerleştirilmiş akış denklemleri" olarak adlandırılır ve çözümü klasik Navier-Stokes'a kıyasla daha basittir.^【3】  Genellikle Reynolds sayısı ≪ 1 olan sistemlerde uygulanır.

Tarihçe

Stokes problemlerinin kökeni, 19. yüzyılın başlarında gelişen sürekli ortam mekaniği ve Navier-Stokes denklemleri çalışmalarına dayanır. Claude-Louis Navier (1822) ve George Gabriel Stokes (1845) bağımsız olarak viskoz akışkanların hareketini yöneten momentum korunum yasalarını formüle etmişlerdir. Ancak, özellikle viskozitenin baskın rolünü vurgulayan kişi Stokes olmuştur. Bu da, bugün sürünme akımı veya Stokes akımı dediğimiz düşük ataletli akışların anlaşılmasına zemin hazırlamıştır.

Stokes’un 1851 tarihli ünlü makalesi, "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums" ("Sıvıların İç Sürtünmesinin Sarkaçların Hareketine Etkisi Üzerine") başlığını taşır ve viskoz kuvvetlerin, özellikle salınım yapan sistemlerde hareketi nasıl sönümlediğini sistematik şekilde inceler. Bu çalışmada Stokes, düşük Reynolds sayılarında geçerli olan lineerleştirilmiş Navier-Stokes denklemlerini sunmuş ve birkaç idealize problemi çözmüştür. Birinci Stokes problemi (bazı kaynaklarda Rayleigh problemi olarak da geçer) sonsuz düz bir plakanın aniden harekete geçmesiyle oluşan gelişen sınır tabaka akışını modeller. İkinci Stokes problemi ise bir plakanın harmonik salınımını inceler ve viskoz sönümleme ile dalga benzeri davranışların anlaşılmasında kritik öneme sahiptir.

19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın başlarında, Stokes’un başlattığı bu yöntemler geliştirildi. Lamb ve Oseen gibi bilim insanları, düşük Reynolds sayılı akışlar için daha doğru çözümler ürettiler; özellikle Oseen, Stokes’un küre etrafındaki direnç analizi üzerinde düzeltmeler yaparak zayıf atalet etkilerini ekledi. Bu süreçte Stokes’un sınır tabaka fikirleri akustik, mikro tanecik hareketi ve jeofiziksel akışlar gibi alanlara da uygulanmaya başladı.

20. yüzyılda, mikroakışkanlar ve biyolojik küçük ölçekli sistemlerin (örneğin suda yüzen bakteriler) incelenmesiyle Stokes akışları yeniden büyük ilgi gördü. Basit ama fiziksel olarak çok önemli olmaları, onları uygulamalı matematik, biyolojik fizik ve sayısal akışkanlar dinamiği (CFD) çalışmalarının temel taşı haline getirdi.

Özetle Stokes problemleri, İngiliz fizikçi George Gabriel Stokes tarafından 19. yüzyılda tanımlanmıştır. 1851'de yayımladığı çalışmada, küçük cisimlerin (örneğin bir küre) viskoz bir akışkan^【4】  içerisindeki hareketini açıklamak için bu denklemleri kullanmıştır. Bu analiz, özellikle Stokes sürükleme yasası ile bilinir:

 $F_d = 6 \pi \mu R V$

Temel Problem Çeşitleri

Stokes problemleri zamana bağlı ve zamana bağlı olmayan şeklinde iki gruba ayrılabilir. Özelde Stokes'un birinci ve ikinci problemi şeklinde ayrımlar da yapılmaktadır.

Durağan Stokes Problemi

Bu problem türünde zaman türevi ihmal edilir. Dolayısıyla atalet kuvvetleri yoktur ve akış tamamen viskoz ve basınç kuvvetleriyle yönlendirilir.

$-\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f} = \mathbf{0}$

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Bu form, özellikle Reynolds sayısı çok düşük olan durumlar için geçerlidir Örnek olarak şu fiziksel sistemler verilebilir:

• Stokes Küresi: Bir sıvı içerisinde yavaşça hareket eden küçük bir küre etrafındaki akış.
• Düz Plakanın Yavaşça Çekilmesi (Couette Akışı): İki paralel plaka arasında alttaki sabit, üstteki sabit hızla çekilir. Laminer, sabit viskoz akış oluşur.

^{Küre Etrafındaki Akışın Görselleştirilmesi (Yapay zeka ile oluşturulmuştur.)}

Zamanla Değişen Stokes Problemi

Burada zamana bağlı hız değişimleri dikkate alınır, ama yine atalet terimi (konvektif hız) ihmal edilir.

$\rho \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}$

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Zamanla değişen ancak düşük hızlı akışlar için geçerlidir. Örnekler:

• Aniden çekilmeye başlanan düz plaka: Alt plakaya yapışık akışkan, zamanla yukarı doğru ivmelenir.
• Aniden harmonik bir düzenle hareket ettirilen plaka. Plakanın üst yüzeyindeki akışkanın hareketi incelenir.
• Dalgıç bir cisim çevresinde akış: Yavaşça hareket eden, zamanla hızlanan veya duran cisimler etrafındaki akış (örneğin yavaşça hareket eden bir mikro robot).

^{Stokes'un İkinci Probleminin Diyagramı (Yapay zeka ile oluşturulmuştur.)}

Çözüm Metotları

Stokes problemleri için çözüm yöntemleri şunlardır:

• Analitik Çözümler: Basit geometriler ve sınır koşulları için (örneğin Stokes küresi, Poiseuille akışı) klasik çözümler mevcuttur.
• Numerik Yöntemler:
• Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM)
• Sonlu Hacim Yöntemi (FVM)
• Spektral Yöntemler
• Lattice Boltzmann Method (LBM) (özellikle mikroakışkanlar için)
• Asimptotik Yaklaşımlar: Çok küçük Reynolds sayısı için pertürbasyon yöntemleri kullanılır.
• Green Fonksiyonları: Lineerlik sayesinde çözümlerde temel çözücüler kullanılabilir.

Önemi

Stokes problemleri, özellikle düşük Reynolds sayılarında gerçekleşen viskoz akışların anlaşılmasında temel bir rol oynar ve bu yönüyle hem teorik hem uygulamalı akışkanlar mekaniğinde büyük öneme sahiptir. Bu problemler sayesinde, atalet etkilerinin ihmal edilebildiği durumlarda sıvıların nasıl davrandığı basit ve analitik yollarla çözülebilir hale gelir. Mikroölçekli akışkan sistemleri, biyolojik ortamlarda hücre hareketleri, mikroakışkan çipler, yağlayıcılar ve ince film akışları gibi birçok mühendislik ve doğa olayında Stokes akışı modelleri kritik rol oynar. Ayrıca bu problemler, sayısal yöntemlerin doğruluğunu test etmek ve daha karmaşık Navier-Stokes çözümlerinin limit durumlarını anlamak açısından da vazgeçilmezdir. Kısacası, Stokes problemleri hem akademik araştırmalarda hem de mühendislik uygulamalarında düşük hızlı akışların modellemesi için temel bir yapı taşıdır.

Kullanım Alanları

Stokes problemleri, düşük Reynolds sayılarında gerçekleşen viskoz akışların anlaşılmasında temel bir rol oynar ve bu yönüyle hem teorik hem de uygulamalı akışkanlar mekaniğinde büyük öneme sahiptir. Özellikle atalet etkilerinin ihmal edilebildiği durumlarda, sıvıların davranışı Stokes denklemleriyle analitik olarak çözülebilir. Bu problemler, birçok alanda doğrudan uygulama bulur. Örneğin mikroakışkan sistemlerde (lab-on-a-chip cihazları gibi) akışın karakteri tamamen Stokes rejimine dayanır; burada sıvılar çok düşük hızlarla ve yüksek viskozite etkisi altında hareket eder. Biyolojik sistemlerde, bakterilerin su içinde yüzmesi, hücrelerin dar kanallardan geçmesi gibi olaylar da Stokes akışı ile modellenir. Ayrıca yağlama teorisi (makinelerdeki hareketli parçalarda yağ tabakalarının davranışı) ve ince film akışları (örneğin cam üretimi sırasında sıvı tabaka yayılımı) gibi mühendislik uygulamaları da Stokes çözümlerine dayanır. Stokes problemleri aynı zamanda hesaplamalı akışkanlar dinamiğinde (CFD) geliştirilen algoritmaların doğruluğunu test etmek ve daha karmaşık Navier-Stokes denklemlerinin limit durumlarını anlamak için vazgeçilmez bir referans sağlar. Bu nedenle Stokes problemleri, hem temel bilimlerde hem de pratik mühendislik tasarımlarında geniş bir kullanım alanına sahiptir.