Variational Quantum Eigensolver (VQE), 2014 yılında Alberto Peruzzo, Alan Aspuru-Guzik ve Jeremy O'Brien tarafından önerilmiş olan, kuantum ve klasik bilgisayarları bir arada kullanan hibrit bir algoritmadır.

Bu algoritmanın temel amacı, belirli bir kuantum sisteminin temel durum enerjisini (ground state energy) tahmin etmektir.

VQE, özellikle bugünün NISQ (Gürültülü Ara Dönem Kuantum) cihazları için tasarlanmıştır. Çünkü nispeten kısa (sığ) kuantum devreleri kullanarak, kuantum bilgisayarların henüz sınırlı olan kapasitesini verimli kullanmayı hedefler.

VQE'nin Temel Dayanakları

VQE’yi doğru anlayabilmek için, şu iki temel noktayı bilmek çok önemlidir:

1. VQE bize enerjinin bir üst sınırını verir.
2. VQE’yi uygulayabilmek için sistemin Hamiltoniyen’ini bilmemiz gerekir.

Bu iki noktaya biraz daha değinelim;

Enerjinin Üst Sınırını Verme (Varyasyonel Prensip)

VQE, varyasyonel prensip adlı kuantum mekanik ilkeye dayanır.

Varyasyonel prensibe göre:

Herhangi bir normalleştirilmiş dalga fonksiyonu $| \psi \rangle$ için, $\langle \psi \vert \hat{H} \vert \psi \rangle \geq E_0$

Bu, ölçülen enerji değerinin gerçek temel durum enerjisine ($E_0$) göre daima büyük yada eşit olacağını söyler.

Kısacası, Hesapladığın enerji değeri, her zaman ya temel enerjiye eşit ya da ondan daha büyük olur.

Bundan dolayı VQE bize enerjinin üst sınırını verir deriz.

$E_{\text{hesaplanan}} \geq E_0$

Hamiltoniyen Bilgisi

VQE'yi çalıştırabilmek için sistemimizin Hamiltonyen operatörünü ($\hat{H}$) bilmemiz gerekir.

1. Hamiltoniyen, kuantum sisteminin toplam enerjisini temsil eder.
2. Matematiksel olarak hermisyen (öz-adjoint) bir operatördür. (Hermisyen matrislere dayanmaktadır.)

VQE Nasıl Çalışır?

1.    Ansatz Dalga Fonksiyonu Hazırlama

2.    Hamiltoniyeni Ölçme

3.    Enerjiyi Hesaplama

4.    Klasik Optimizasyon

Ansatz Dalga Fonksiyonu Hazırlama

İlk başta Ansatz nedir ona değinelim.

Temel olarak, çözülmek istenen problemin dalga fonksiyonunun veya durumunun bir tahminidir ve ayarlanabilir parametrelere sahip bir kuantum devresi olarak uygulanır. Ansatz'ın temel amacı, Hamiltoniyen'in beklenen değerini minimize edecek optimal parametre kümesini bulmaktır. Bu sayede, VQE durumunda sistemin temel durum enerjisinin bir üst sınırı elde edilir.

Özetle şu şekilde ifade edebiliriz:

• Ansatz = Deneme devresi (ayarlanabilir parametreleri var).
• Amaç = Enerjiyi minimuma indiren en iyi parametreleri bulmak.
• Sonuç = Temel enerjiye yaklaşan bir tahmin elde edilir (asla temel enerjinin altına inemeyiz).

Matematiksel olarak, ansatz'ı şöyle ifade edebiliriz:

$|\psi(\theta)\rangle = U(\theta)|0\rangle$

• $|\psi(\theta)\rangle$ , parametre  θ  olarak tanımlanan deneme dalga fonksiyonudur. (Ansatz)
• $U(\theta)|0\rangle$ , bir kuantum devresidir ve bu devre ,  θ  parametrelerine bağlı olarak ayarlanabilir bir brimaryan operatörüdür. (örneğin biz dizi kuantum kapısı(klasik(lojik) kapıları gibi düşünülebilir ama kuantum durumunun getirdiği özelliklerden yararlanırlar.))

^{Parametrik Bir Kuantum Devresi (IBM Quantum Learning)}

Hamiltonyen'i Ölçme

Hamiltonyen daha önce de bahsettiğimiz gibi sistemin enerjisini ölçen bir operatördür.

Hamiltonyen'i Pauli matrislerinin tensor çarpımları şeklinde ifade ettiğinizde, her bir Pauli matris çifti, sistemdeki farklı kuantum bileşenlerinin etkileşimlerini temsil eder.

Örneğin,  $(I \otimes X), (X \otimes X)$, gibi terimler, iki qubit arasındaki etkileşimleri belirtir.

Öncelikle, incelenen kuantum sisteminin Hamiltoniyeni, kuantum bilgisayarında doğrudan ölçülebilir bir biçimde ifade edilmelidir. Bu, Hamiltonyen'in ağırlıklı Pauli operatörleri toplamı olarak yazılmasıyla yapılır.

$\hat{H} = \sum\limits_{a} w_a \hat{P}_a$

Bunu açtığımızda karşımıza bu şekilde bir ifade gelir, bu ifade Hamiltonyen'in genelleştirilmiş formudur:

$\hat{H} = \sum_{A,B \in \{I,X,Y,Z\}} w_{A\otimes B} \hat{A} \otimes \hat{B}$

$\hat{H} = w_{II} (\hat{I} \otimes \hat{I}) + w_{IX} (\hat{I} \otimes \hat{X}) + \cdots + w_{ZZ} (\hat{Z} \otimes \hat{Z})$

Daha sonra her Pauli durumu için ansatz ölçeriz:

$\bra{\psi(\theta)} \hat{P}_a \ket{\psi(\theta)}$

Bu, ansatz durumundaki $\ \hat{P}_a$ Pauli operatörünün beklenen değerini ifade eder.

Her Pauli operatörü için ayrı ayrı hesaplamamızın nedenlerini de şu şekilde yazabiliriz:

•   Fiziksel anlam: Her Pauli terimi, bir fiziksel etkiyi veya bir ölçümü temsil eder. Ayrı ayrı hesaplanması, her fiziksel etkiyi izole etmemize olanak tanır.
•   Optimizasyonun doğruluğu: Her Pauli teriminin beklenen değerinin doğru hesaplanması, parametre optimizasyonunun doğru çalışmasına olanak verir.
•  Verimli çözümleme: Enerji fonksiyonunu birden fazla Pauli teriminin kombinasyonu olarak yazmak, hesaplama açısından daha verimli olmasını sağlar. Her terimi ayrı ayrı hesaplamak, tüm sistemin toplam enerjisini doğru bir şekilde modellememize yardımcı olur.

Enerjiyi Hesaplama

Ölçülen beklenti değerlerini kullanarak toplam enerjiyi hesaplarız:

$E_{\text{VQE}}(\theta) = \sum_a w_a \bra{\psi(\theta)} \hat{P}_a \ket{\psi(\theta)}$

Klasik Optimizasyon

Bir klasik optimizasyon algoritması (COBYLA, Nelder-Mead, vb.) kullanarak  θ  parametrelerini güncelleriz.

Amaç: Enerjiyi minimize eden en iyi  θ  setini bulmak.

Bu kuantum ölçüm + klasik güncelleme döngüsü, enerji değerinde bir değişim kalmayana kadar devam eder.

Neden VQE Kullanıyoruz?

1.   Karmaşık dalga fonksiyonlarını modelleyebilir.

2.   Klasik bilgisayarlarla çözümü üstel zorlukta olan sistemlerde kuantum avantajı sağlayabilir.

3.   Kısa kuantum devreleri sayesinde NISQ cihazlarında çalışabilir.

4.   Özellikle kuantum kimyası ve malzeme bilimi gibi alanlarda temel durum enerjilerini bulmada devrim yaratabilecek bir yöntemdir.

Fakat faydalarının yanında bazı sorunları da beraberinde getirmektedir, bu sorunları kısaca şu şekilde ifade edebiliriz:

1.   Hamiltonyen'in beklenen değerini doğru bir şekilde tahmin etmek için önemli sayıda ölçüm gerekebilir. (Bu kuantum sistemlerin doğası ile ilgilidir.)

2.   Kuantum gürültüsüne karşı direnci belirsizdir ve hataların azaltılması gerekebilir. (Buradaki kuantum gürültüsü klasik sistemlerdeki gürültü problemine benzerdir.)

Örnek VQE Algoritmaları

1.   Google tarafından geliştirilen Cirq ile oluştutulan örnek bir VQE algoritması:

Variational Quantum Eigensolver - Cirq

2. IBM tarafından geliştirilmiş Qiskit ile oluşturulan örnek bir VQE algoritması:

Variational Quantum Eigensolver - Qiskit

Algoritmayı yazılıma dökerken hangi kütüphaneyi (Qiskit, Cirq, PennyLane vb.) kullanacağınız tamamen size bağlıdır. Burada görselleştirme kalitesi, modül hataları ve Python uyumluluğu gibi kriterleri esas alabilirsiniz.

^{Qiskit ile Görselleştirme Örneği (IBM Quantum Documentation)}

^{Cirq ile Görselleştirme Örneği (Cirq Documentation)}