Durum Geri Beslemeli Kontrol

Durum geri beslemeli kontrol, sistemin çıkışına ait durumların ölçülerek geri beslenmesi ve bu bilgilerin, hedeflenen giriş değeriyle karşılaştırılması esasına dayanan kapalı çevrimli bir kontrol yöntemidir.

Durum geri beslemesi, bir sistemin tüm durum değişkenlerinin ölçülmesinin gerekli olduğu bir kontrol sistemi tasarım tekniğidir. Sistemin tüm durumlarının sabit bir geri besleme kazanç matrisi ($K$) aracılığıyla sistem girişine geri beslenmesini içerir.

Durum uzayı (state-space) gösterimi olarak bilinen matematiksel bir model, doğrusal sistemlerin dinamik davranışını tasvir etmek için matrisler ve vektörler kullanır. Durum uzayı formunda, doğrusal zamanla değişmeyen (LTI) bir sistem aşağıdaki gibi temsil edilir:

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

A, B, C ve D matrisleri, sistemin dinamiklerini tanımlayan matrisleriyken u(t) giriş, y(t) çıkış ve x(t) ise durum vektörüdür. Bu form, durum geri besleme denetleyicileri gibi sofistike kontrol sistemlerini analiz etmek ve tasarlamak için bir temel sağlar.

Durum geri besleme kontrolü, durum vektöründen geri besleme kullanarak kontrol girişini belirlemeyi içerir:

$u(t)=-Kx(t)$

Burada K durum geri besleme kazanç matrisidir. Temel hedef, kapalı çevrim sistem matrisinin (A − BK) kutup yerlerini karmaşık düzlemde belirli konumlara yerleştirerek istenen sistem özelliklerine, örneğin kararlı ve daha hızlı bir sistem cevabına ulaşmaktır. Durum geri besleme kontrolü, modern kontrol teorisinin temel tekniklerinden biridir ve durum değişkenlerini geri besleme olarak kullanarak sistem dinamikleri üzerinde hassas kontrol sağlar. Geri besleme yoluyla sistemin kutup yerleştirmesini değiştirerek mühendisler, kararlılığı artırabilir, geçici yanıtları azaltabilir ve kontrol performansını optimize edebilir.

n boyutlu sistemin kontrolü ve geçici yanıtının şekli, sistem matrisi $A$'nın özdeğerlerinin konumu tarafından belirlenir. Eğer sistem kararlı değilse veya kararlı olsa bile geçici yanıt tasarım isterilerini karşılamıyorsa, geri besleme kontrolü ile özdeğerlerin yerlerini yeniden atayabiliriz. Kapalı çevrim sisteminin kararlılığı ve geçici yanıtı, $A-BK$ matrisinin özdeğerleri tarafından belirlenir, bu özdeğerler kapalı çevrim özdeğerleri olarak adlandırılır. Bu durum açık çevrim sisteminin özdeğerleri olan $A$ matrisinin özdeğerlerinden farklıdır.

Kutup yerleştirme (pole-placement) tekniği durum geri beslemeli kontrolün temelini oluşturur. Araştırmalar, çeşitli doğrusal sistem konfigürasyonlarına uyarlanabilirliği ve pertürbasyonlara karşı sağlamlığı nedeniyle güç sistemleri, robotik ve havacılık mühendisliği dahil olmak üzere çeşitli alanlardaki uygulamalarını vurgulamaktadır.

Kutup yerleştirme tekniği ile durum geri besleme yöntemi, sistemi kararlı hale getirmenin yanı sıra gerekli performans kriterlerini elde etmek için kapalı döngü sistemin kutuplarını istenen konumlara taşır. Bu tekniğin temel amacı, kutupları istenen konumlara yerleştiren optimum geri besleme kazancını, $K$, bulmaktır. Kapalı çevrim sistemin kutupları, kapalı çevrim sistemin özdeğerleridir. Yani aslında $K$ matrisi yardımıyla kutupların yerleri değiştirilerek $A-BK$ ifadesinin özdeğerleri değiştirilmiş olur. O halde, durum geri beslemeli bir kontrolcü tasarlamak için iki adım vardır: İstenen kutupların seçilmesi ve ilgili K matrisinin hesaplanması.

Optimum K değerini hesaplamak için birkaç yöntem vardır. Bunlardan en çok kullanılanı 'Katsayıların Eşitlenmesi' metodu ile Ackermann formülüdür.

Katsayıları Eşitleme (Equalizing Coefficients) metodu, durum geri besleme tasarımı için temel yöntemdir.

Buradaki mantık, sistemin karakteristik denklemi ile istenen karakteristik denklemini karşılaştırmak ve katsayıları eşitleyerek optimum K değerini bulmaktır. Sistemin karakteristik denklemi $\alpha (s)$ ile gösterilir ve şuna eşittir:

$\alpha (s)=det(sI-(A-BK))$

Bu denklem s'nin bir fonksiyonudur ve K değerine bağlı değişkenler içerir (k₁, k₂, ..., k_n gibi). İstenen karakteristik denklem ise sistemin yerleştirilmek istenen yeni kutuplarının bir fonksiyonudur ve aşağıdaki şekilde hesaplanır:

${\alpha }_d(s)=(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)$

$p_i$ değerleri istenen kutupları temsil eder. $\alpha (s)$ ve ${\alpha }_d(s)$ denklemleri hesaplandıktan sonra karşılaştırılarak ($\alpha (s)={\alpha }_d(s)$) K vektörünün elemanları bulunur ve optimum K değerine ulaşılmış olur.

Literatürde sıklıkla kullanılan bir diğer metotsa Ackermann formülüdür. K vektörü temelde şu formül ile hesaplanır:

$K=[\mathrm{0...1}]C^{-1}{\alpha }_d(A)$

Bu formülde, $[0\dots 1]$ vektörü, son elemanı 1 ve geri kalanları 0 olan $(1xn)$ boyutunda bir vektördür. $C$ matrisi, $[B,AB,...,A^{n-1}B]$ şeklinde hesaplanan kontrol edilebilirlik matrisidir ve ${\alpha }_d(s)$ istenen karakteristik denklemdir.