Eşitsizlikler

Eşitsizlik, iki matematiksel ifade arasındaki büyüklük ilişkisini eşitlik dışındaki bir bağıntıyla ortaya koyan matematiksel bir ifadedir. Denklemler iki ifadenin birbirine eşit olduğunu belirtirken eşitsizlikler birinin diğerinden büyük ya da küçük olduğunu ifade eder. Günlük yaşamda "en az", "en fazla", "aşmamak" gibi koşullar matematiksel olarak eşitsizliklerle modellenmektedir. Eşitsizlikler; sayı teorisinden matematiksel analize, optimizasyon problemlerinden istatistiğe kadar matematiğin hemen her alanında temel bir araç işlevi görmektedir.

Eşitsizlik kavramının kökleri antik döneme uzanmaktadır; ancak bu kavramın sistematik biçimde ele alınması oldukça geç bir tarihe denk gelir. Eski Yunan matematiğinde büyüklük karşılaştırmaları geometrik bağlamda yapılmış, sayısal eşitsizlik ilişkileri açıkça biçimselleştirilmemiştir. Orta Çağ İslam matematikçileri denklem çözümlerinde eşitsizlik benzeri durumları ima etmiş; ancak bunlar günümüzdeki anlamda bir eşitsizlik teorisi oluşturmamıştır.

Modern eşitsizlik sembolizminin tarihi 17. yüzyılda başlamaktadır. < ve > sembolleri ilk kez İngiliz matematikçi Thomas Harriot'a atfedilen ve 1631'de ölümünden sonra yayımlanan Artis Analyticae Praxis adlı eserde yer almaktadır; eserde "Signum majoritatis ut a > b significet a majorem quam b" ve "Signum minoritatis ut a < b significet a minorem quam b" ifadeleri geçmektedir (Miller, "Earliest Uses of Symbols of Relation"). Öte yandan araştırmalar bu sembollerin Harriot'un kendi el yazmalarında değil, yalnızca basılı eserde göründüğünü ortaya koymaktadır; dolayısıyla sembollerin gerçek mucidinin kim olduğu tartışmalı olmaya devam etmektedir (Miller, "Earliest Uses of Symbols of Relation"). Daha sonra John Wallis 1670'te < ve > sembollerinin üzerine yatay çizgi eklenmiş biçimlerini kullanmıştır; bu biçimler bugünkü ≤ ve ≥ sembollerinin öncülüdür. Fransız hidrolog Pierre Bouguer ise 1731'de günümüzde yaygın olarak kullanılan ≤ ve ≥ sembollerini ilk kez benimsemiştir.^【1】

Eşitsizliklerde dört temel ilişki kullanılmaktadır. a < b ifadesi a'nın b'den küçük olduğunu, a > b ifadesi a'nın b'den büyük olduğunu belirtir; bu iki ilişki kesin eşitsizlik olarak adlandırılır ve iki değerin eşit olmadığını vurgular. a ≤ b ifadesi a'nın b'den küçük ya da ona eşit olduğunu, a ≥ b ifadesi ise a'nın b'den büyük ya da ona eşit olduğunu belirtir; bu iki ilişki ise geniş eşitsizlik olarak adlandırılır. Bunlara ek olarak a ≠ b ifadesi yalnızca iki değerin eşit olmadığını belirtir; bu ilişki zaman zaman özel bir eşitsizlik türü olarak sınıflandırılmaktadır.

^{Eşitsizlikleri temsil eden görsel ( yapay zeka ile oluşturulmuştur )}

Eşitsizlikler, gerçek sayılar kümesi üzerinde belirli cebirsel kurallara uyar.

a < b ve b < c ise a < c sonucu çıkar. Bu özellik, eşitsizlik zincirlerinin tutarlı biçimde kurulmasını sağlar.

Her iki tarafa aynı gerçek sayı eklendiğinde ya da her iki taraftan aynı gerçek sayı çıkarıldığında eşitsizliğin yönü değişmez: a < b ise a + c < b + c.

Pozitif bir sayıyla çarpma ya da bölme eşitsizliğin yönünü korur: a < b ve c > 0 ise ac < bc. Negatif bir sayıyla çarpma ya da bölme ise eşitsizliğin yönünü tersine çevirir: a < b ve c < 0 ise ac > bc. Bu kural, eşitsizliklerin denklemlerden ayrıldığı en önemli noktadır ve çözüm hatalarının başlıca kaynağı olmaktadır.

Aynı yönde iki eşitsizlik terim terim toplanabilir: a < b ve c < d ise a + c < b + d. Ancak eşitsizlikler terim terim çıkarılamaz; bu işlem geçerli değildir.

İçerdiği bilinmeyenin birinci dereceden olduğu eşitsizliklerdir. Tek değişkenli doğrusal eşitsizliklerin çözüm kümesi sayı doğrusunda bir aralık; iki değişkenli olanlardaki çözüm kümesi ise Kartezyen düzlemin bir yarı düzlemi biçiminde görselleştirilebilir.

İkinci dereceden terimler içeren eşitsizliklerdir. Çözümde genellikle eşitliğin kökleri bulunur, ardından işaret çizelgesi ya da parabol grafiği kullanılarak çözüm kümesi belirlenir.

|x| < c biçimindeki eşitsizlikler −c < x < c ile; |x| > c biçimindekiler ise x < −c veya x > c koşuluyla eşdeğerdir. Bu tür eşitsizlikler sayı doğrusundaki uzaklık yorumuyla birlikte ele alındığında anlamları daha belirgin hâle gelir.

Pay ve paydada değişken içeren eşitsizliklerdir. Çözümde paydanın sıfır olduğu noktaların dışarıda bırakılması zorunludur; işaret analizi bu tür eşitsizliklerin çözümünde standart yöntem olarak kullanılmaktadır.

Birden fazla eşitsizliğin aynı anda sağlanmasını gerektiren durumlar sistem eşitsizlikleri olarak adlandırılır. Çözüm kümesi, her bir eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimidir. Doğrusal programlama problemlerinde uygun bölgeler bu tür sistemlerle tanımlanmaktadır.

Matematiksel kanıtlarda ve uygulamalarda sıkça kullanılan bazı eşitsizlikler özel ad almıştır.

Üçgen eşitsizliği, herhangi iki gerçek ya da karmaşık sayı için |a + b| ≤ |a| + |b| bağıntısının geçerli olduğunu belirtir; bu ifade analizin temel taşlarından biridir. Aritmetik ortalama–geometrik ortalama eşitsizliğine (AM-GM) göre negatif olmayan gerçek sayıların aritmetik ortalaması, geometrik ortalamalarından küçük ya da ona eşittir; eşitlik yalnızca tüm sayıların birbirine eşit olduğu durumda sağlanır. Cauchy-Schwarz eşitsizliği ise iç çarpım uzaylarında geniş bir uygulama alanına sahip olup sayı teorisinden olasılık teorisine kadar pek çok alanda temel sonuçların kanıtlanmasında kullanılmaktadır.

Bir eşitsizliğin çözüm kümesi, eşitsizliği sağlayan tüm değerlerin kümesidir. Bu küme aralık gösterimiyle, küme-oluşturucu gösterimiyle ya da sayı doğrusu üzerinde işaretlenerek ifade edilebilir. Sayı doğrusunda kapalı nokta (•) uç değerin çözüm kümesine dahil olduğunu, açık nokta (∘) ise dahil olmadığını gösterir. Kesin eşitsizliklerde (< ve >) uç noktalar açık; geniş eşitsizliklerde (≤ ve ≥) ise kapalıdır. Çözüm kümesinin aralık gösterimindeki parantez kullanımı da bu ayrımı doğrudan yansıtmaktadır.

Eşitsizlikler, matematiğin teorik dallarından uygulamalı bilimlere kadar son derece geniş bir yelpazede kullanılmaktadır. Matematiksel analizde limit ve türev tanımlarındaki ε-δ yöntemi eşitsizliklere dayanır; süreklilik ve yakınsama gibi kavramlar bu dil aracılığıyla kesin biçimde ifade edilir. Optimizasyonda bir fonksiyonun en büyük ya da en küçük değerini bulmak çoğu zaman eşitsizlik koşullarının belirlenmesini gerektirir; doğrusal programlama tamamen eşitsizlik sistemleri üzerine kuruludur. İstatistik ve olasılık teorisinde Chebyshev, Markov ve Jensen eşitsizlikleri gibi temel sonuçlar, dağılımlar hakkında kesin formüllerle ifade edilemeyen sınırlar belirlemeye olanak tanır. Sayı teorisinde asal sayıların dağılımına ilişkin tahminler ve Diophant yaklaşımları eşitsizlik araçlarıyla yürütülmektedir. Mühendislik ve ekonomide tolerans sınırları, güvenlik koşulları ve kaynak kısıtları eşitsizliklerle modellenmektedir.^{【2】【3】}