Asal Sayılar

Asal sayılar, 1'den büyük, sadece kendisine ve 1'e bölünebilen tam sayılardır. Asal olmayan 1'den büyük tam sayılara ise bileşik sayı denir. Örneğin, 17 sayısı bir asal sayıdır çünkü sadece 1 ve 17'ye tam bölünebilirken, 6 sayısı 2 ve 3'e de bölünebildiği için bileşik bir sayıdır. 0 ve 1 sayıları ne asal ne de bileşik olarak kabul edilir. En küçük asal sayı 2'dir ve aynı zamanda tek çift asal sayıdır. 5'ten büyük hiçbir asal sayı 5 ile bitmez. 

Asal sayılar ve özellikleri ilk olarak Antik Yunan matematikçiler tarafından incelenmiştir. M.Ö. 500-300 yılları arasında Pisagor okulu matematikçileri asal sayıların temellerini keşfetmiştir. M.Ö. 300 civarında Euclid, "Elementler" adlı eserinde asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu ispatlamış ve aritmetiğin temel teoremini ortaya koymuştur. Bu teorem, her tam sayının asal sayıların çarpımı olarak tek bir şekilde yazılabileceğini ifade eder. M.Ö. 200 yıllarında Eratosthenes, belirli bir sayıya kadar olan asal sayıları bulmak için "Eratosthenes Kalburu" olarak bilinen bir algoritma geliştirmiştir. 

17. yüzyılda Pierre de Fermat, asal sayılarla ilgili önemli teoremler geliştirmiştir. Fermat'ın Küçük Teoremi'ne göre, eğer p bir asal sayı ise, herhangi bir a tam sayısı için a^p≡a(mod p) ifadesi geçerlidir. Euler, Fermat'ın çalışmalarını geliştirerek Euler totient (phi) fonksiyonunu ϕ(n) oluşturmuştur. Bu fonksiyon, n≥1 için [1,n] aralığında n ile aralarında asal olan sayıların adedini verir. Euler Teoremi'ne göre, eğer n≥1 ve (a,n)=1 (a ve n aralarında asal) ise a^ϕ(n) ≡1(mod n) olur. 

Asal sayıların dağılımı, yani tam sayılar arasında ne sıklıkta ortaya çıktıkları, sayılar teorisinin önemli bir araştırma konusudur. Tam sayılar büyüdükçe asal sayıların sıklığı azalır. 

Carl Friedrich Gauss ve Adrien-Marie Legendre, 18. yüzyılın sonlarında, belirli bir n sayısından küçük asal sayıların sayısını (π( n ) ile gösterilir) tahmin etmek için bir formül önermişlerdir. Bu teorem,$\pi (n)\sim \frac{n}{ln(n)}$

​şeklinde ifade edilir ve n sonsuza yaklaştıkça π(n)'in $\frac{n}{ln(n)}$değerine yaklaştığını belirtir. Bu teorem, 1896 yılında Jacques Hadamard ve Charles de la Vallée Poussin tarafından bağımsız olarak kanıtlanmıştır.

19. yüzyılın ortalarında Bernhard Riemann, asal sayıların dağılımını daha derinlemesine incelemek için Riemann Zeta fonksiyonu hipotezini ortaya atmıştır. Riemann Zeta fonksiyonu, $s\ne 1$olan tüm s karmaşık sayıları için $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$olarak tanımlanır. Riemann hipotezi, $\zeta (s)=0$ denkleminin tüm çözümlerinin (trivial olmayan sıfırlar) gerçel kısımlarının $\frac{1}{2}$ olduğunu öne sürer. Bu hipotez, asal sayıların dağılımı hakkında derin bilgiler içerir ancak henüz kanıtlanamamıştır. 

Belirli formüllere veya özelliklere uyan bazı özel asal sayı türleri bulunmaktadır:

• Mersenne Asalları: p bir asal sayı olmak üzere M_p​= 2^p −1 formundaki asal sayılardır. Her M_p sayısı asal değildir; örneğin M₁₁ = 2047 = 23 × 89 asal değildir. Mersenne asalları, mükemmel sayılarla (kendisinden başka pozitif bölenlerinin toplamına eşit olan sayılar) yakından ilişkilidir. Eğer 2^p − 1 bir Mersenne asalı ise, 2^p-1 (2^p−1) bir mükemmel sayıdır. Bilinen en büyük asal sayıların çoğu Mersenne asalıdır ve "Great Internet Mersenne Prime Search" (GIMPS) projesi kapsamında yeni Mersenne asalları aranmaktadır. 

• Fermat Asalları: Her n≥0 tam sayısı için F_n=2²$F_n=2^{2^n}+1$ biçiminde yazılabilen asal sayılardır. Fermat, bu formüldeki tüm sayıların asal olduğunu iddia etmiş olsa da, Euler F₅​=2³²+1 sayısının 641'e bölündüğünü göstererek bu iddianın yanlış olduğunu kanıtlamıştır. Bilinen sadece beş Fermat asalı vardır: F₀=3, F₁=5, F₂​=17, F₃=257, F₄=65537. 

• Wilson Asalları: p asal sayısı için (p−1)! ≡ −1(mod p²⁾ denkliğini sağlayan sayılardır (Wilson Teoremi'ne göre  (p−1) ≡−1(mod p) her asal p için geçerlidir). Bilinen Wilson asalları 5, 13 ve 563'tür. Sonsuz sayıda olup olmadıkları bilinmemektedir. 

• Sophie Germain Asalları: p asal bir sayı iken 2_p+1 sayısı da asal ise, p sayısına Sophie Germain asalı denir. Örneğin, 2, 3, 5, 11, 23 Sophie Germain asallarıdır. Bu asallar, Fermat'ın Son Teoremi'nin belirli durumlarının kanıtlanmasında kullanılmıştır. 

• İkiz Asallar: Aralarındaki fark 2 olan asal sayı çiftleridir (p ve p+2 her ikisi de asal). Örneğin, (3,5), (5,7), (11,13) ikiz asal çiftleridir. Sonsuz sayıda ikiz asal olup olmadığı hala çözülmemiş bir problemdir.

• Cullen Asalları: C_n = n⋅2ⁿ+ 1 formundaki asal sayılardır. 

• Palindromik Asallar: Sağdan ve soldan okunuşları aynı olan asal sayılardır (örneğin, 11, 101, 131). 

• Faktöriyel Asallar: n! ± 1 formundaki asal sayılardır. 

• Ramanujan Asalları: Herhangi bir n doğal sayısı için, n. Ramanujan asalı, x ≥ R_n iken $\pi (x)-\pi (\frac{x}{2})\ge n$ koşulunu sağlayan en küçük R_n tam sayısıdır. 

Bir tam sayının asal olup olmadığını belirlemek için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Küçük sayılar için deneme bölmesi yeterli olabilirken, büyük sayılar için daha gelişmiş algoritmalara ihtiyaç duyulur. 

• Eratosthenes Kalburu: Belirli bir sınıra kadar olan tüm asal sayıları bulmak için kullanılan eski ve basit bir yöntemdir. Algoritma, 2'den başlayarak sayıların katlarını eleyerek çalışır; elenmeyen sayılar asaldır. Zaman karmaşıklığı nedeniyle çok büyük sayılar için pratik değildir. 

• Kesin (Deterministik) Asallık Testleri: Bir sayının asal olup olmadığını kesin olarak belirleyen algoritmalardır. 

• AKS Asallık Testi (Agrawal-Kayal-Saxena): 2002 yılında geliştirilen ilk polinomsal zamanda çalışan, genel amaçlı ve kesin sonuç veren asallık testidir. 

• Olasılıklı Asallık Testleri: Bir sayının yüksek olasılıkla asal olduğunu belirleyen, ancak kesinlik sunmayan testlerdir. Genellikle kesin testlerden daha hızlıdırlar ve kriptografide yaygın olarak kullanılırlar. Testin birden çok kez farklı tabanlarla tekrarlanması hata olasılığını azaltır. 

• Fermat Asallık Testi: Fermat'ın Küçük Teoremi'ne dayanır. Eğer n asal ise ve a ile n aralarında asal ise a^n-1≡1(mod n) olmalıdır. Ancak bu denkliği sağlayan bileşik sayılar da vardır (Carmichael sayıları). 

• Miller-Rabin Asallık Testi: Fermat testinin bir geliştirmesidir ve Carmichael sayıları gibi yalancı asalları daha etkin bir şekilde tespit eder. Güçlü olasılıklı asallık testi olarak bilinir ve pratikte yaygın olarak kullanılır. 

• Solovay-Strassen Asallık Testi: Euler kriteri ve Jacobi sembolünü kullanır. Miller-Rabin testinden daha yavaş olduğu için daha az tercih edilir. 

• Lehmann Testi: Bu testte, rastgele seçilen a sayıları için $b\equiv a^{\frac{p-1}{2}}$(mod p) değeri hesaplanır. Eğer tüm bdeğerleri 1 veya -1 ise (ancak hepsi aynı değilse), p asal kabul edilebilir. 

Asal sayılar, modern kriptografinin temel taşlarından biridir, özellikle açık anahtarlı şifreleme sistemlerinde. Bu sistemlerin güvenliği, genellikle çok büyük asal sayıların çarpımından oluşan bir sayıyı çarpanlarına ayırmanın zorluğuna dayanır. 

• RSA Şifreleme Sistemi: Ron Rivest, Adi Shamir ve Leonard Adleman tarafından 1978'de geliştirilmiştir. Güvenliği, büyük bir tam sayıyı iki büyük asal çarpana ayırmanın zorluğuna dayanır. İki farklı büyük asal sayı (p ve q) seçilir,  n = p⋅q ve ϕ(n)=(p−1)(q−1) hesaplanır. Açık anahtar (n,e) ve gizli anahtar (d) olarak belirlenir, burada e ve d belirli matematiksel ilişkileri sağlar. 

• Rabin Şifreleme Sistemi: Michael Rabin tarafından 1979'da geliştirilmiştir ve RSA'ya benzer şekilde bileşik sayıların çarpanlarına ayrılmasının zorluğuna dayanır. 

Asal sayı üretimi için öncelikle rastgele bir sayı seçilir ve tek olması sağlanır. Daha sonra küçük asal sayılara bölünüp bölünmediği kontrol edilir ve ardından Miller-Rabin gibi olasılıklı asallık testleri uygulanır. 

Asal sayıların tespiti ve özellikleri üzerine araştırmalar devam etmektedir. Yeni asal sayı bulma yöntemleri ve mevcut yöntemlerin iyileştirilmesi üzerine çalışmalar yapılmaktadır. Mükemmel güvenli asal sayı dizileri gibi yeni kavramlar tanımlanmakta ve bunların şifreleme sistemlerindeki potansiyel kullanımları araştırılmaktadır. 

Asal sayılarla ilgili hala çözülmemiş birçok problem bulunmaktadır: 

• Riemann Hipotezi
• Goldbach Sanısı (her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılıp yazılamayacağı) 
• İkiz Asal Sanısı (sonsuz sayıda ikiz asal olup olmadığı)
• Sonsuz sayıda Mersenne, Fermat veya Wilson asalı olup olmadığı. 

Bu problemlerin çözümü, sayılar teorisinde ve matematiğin diğer dallarında önemli ilerlemelere yol açabilir.