Lineerizasyon, doğrusal olmayan sistemlerin belirli bir noktadaki davranışlarını yaklaşık olarak doğrusal sistemlerle ifade etmeye yarayan matematiksel bir yöntemdir. Bu teknik, fiziksel sistemlerin çözümlemesini basitleştirmek, kontrol sistemlerinin tasarımını mümkün kılmak ve diferansiyel denklemlerle ifade edilen dinamik süreçleri analiz edilebilir hale getirmek için geliştirilmiştir. Gerçek dünyadaki çoğu sistem karmaşık ve doğrusal olmayan yapıdadır. Ancak bu sistemlerin çoğu, belirli bir çalışma noktası etrafında oldukça tutarlı doğrusal davranış sergilediğinden, lineerizasyon yöntemiyle basitleştirilmeleri mümkündür. Bu yönüyle lineerizasyon, mühendislik, fizik, ekonomi ve biyoloji gibi pek çok alanda önemli bir araçtır.

Matematiksel Temel: Taylor Yaklaşımı

Lineerizasyonun temelinde Taylor serisi açılımı yer alır. Çok değişkenli bir fonksiyonun belirli bir noktada lineer yakınsaması, o fonksiyonun türevleri kullanılarak oluşturulur. Örneğin, $f(x,y)$ gibi iki değişkenli bir fonksiyonun $(x 0 ​ ,y 0 ​ )$ noktasında birinci dereceden Taylor yaklaşımı şu şekildedir:

$L(x,y)=f(x 0 ​ ,y 0 ​ )+f x ​ (x 0 ​ ,y 0 ​ )(x−x 0 ​ )+f y ​ (x 0 ​ ,y 0 ​ )(y−y 0 ​ )$

Burada $𝑓_x$ ve $f_y$ , sırasıyla $x$ ve $y$ değişkenlerine göre kısmi türevleri ifade eder. Bu tür bir yaklaşım sayesinde karmaşık bir yüzey ya da alan, denge noktasına yakın bölgelerde düzlemlerle temsil edilebilir. Daha genel biçimde, $𝑓 ( 𝑥)$  fonksiyonunun çok değişkenli hali için türev bilgileri bir Jacobian matrisi içinde düzenlenir. Bu matris, lineer sistemlerin tanımlanmasında merkezi bir rol oynar.

Doğrusal Olmayan Sistemlerin Doğrusallaştırılması

Bir sistemin doğrusal hale getirilmesi süreci, onun hareket denklemlerinin belirli bir referans noktası etrafında sadeleştirilmesi ile başlar. Örneğin, diferansiyel denklemlerle tanımlanan bir sistem düşünelim:

$dt/ dx ​ =f(x,u)$

Burada $x$ sistemin durumu, $u$ ise girdiler olarak yorumlanır. Eğer bu sistem belirli bir çalışma noktası olan $(x 0 ​ ,u 0 ​ )$ etrafında analiz edilecekse , fonksiyonun Taylor serisiyle açılımı yapılır ve daha yüksek dereceden terimler ihmal edilerek aşağıdaki biçim elde edilir:

$dt/ d(δx) ​ =Aδx+Bδu$

Bu denklemdeki $A$ ve $B$  matrisleri, sırasıyla fonksiyonun durum ve girişlere göre kısmi türevlerini gösteren Jacobian türevleridir. Elde edilen sistem, artık klasik doğrusal sistem teorisi ile analiz edilebilir hale gelmiştir .

Geometrik Yorumu ve Grafiksel Yaklaşım

Lineerizasyonun görsel yorumu, fonksiyon grafiğine teğet olan düz bir çizgi veya düzlem ile yapılır. Özellikle tek değişkenli fonksiyonlar için bu çizgi, fonksiyonun belirli bir noktadaki türeviyle tanımlanan teğet doğrudur. Örneğin, $f(x)$ fonksiyonunun $𝑥 = 𝑎$ noktasındaki doğrusal yaklaşımı şu şekilde ifade edilir:

$L(x)=f(a)+f ′ (a)(x−a)$

Uygulama Alanları

Lineerizasyon, pek çok mühendislik alanında aktif olarak kullanılmaktadır. Özellikle otomatik kontrol sistemleri, uçuş mekaniği, robotik, elektrik devreleri ve ekonomik modelleme bu tekniğin öne çıktığı alanlardır. Örneğin:

Kontrol sistemlerinde, karmaşık sistemlerin kontrol edilebilirliğini test etmek için lineer modelleme tercih edilir.

Robotikte, hareket planlaması ve denge sağlama gibi görevler doğrusal modeller üzerinden yürütülür.

Ekonomide, üretim fonksiyonları ve tüketim modelleri doğrusal hale getirilerek analiz yapılır.

Fizikte, potansiyel enerji yüzeylerinin etrafında yapılan harmonik yakınsaklık analizlerinde bu yöntem kullanılır.

Bu uygulamaların temelinde, sistemin davranışının belirli bir noktada iyi tanımlı ve hesaplamaya uygun olması amacı yatar .

Sınırlamalar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler

Lineerizasyonun geçerliliği, sistemin çalışma noktasına olan uzaklıkla doğrudan ilişkilidir. Model, sadece denge noktasına yakın bölgelerde yeterli doğruluk sağlar. Uzaklaştıkça doğrusal model ile gerçek sistem arasındaki fark artar. Ayrıca, bazı sistemler doğaları gereği çok hızlı değişim gösterdiğinden lineer yaklaşım yeterli hassasiyeti sağlayamayabilir. Bu durumda ya daha karmaşık doğrusal olmayan analiz yöntemleri kullanılmalı ya da birden fazla çalışma noktasında ayrı ayrı lineerizasyon yapılarak sonuçlar birleştirilmelidir.

Lineerizasyon, doğrusal olmayan sistemlerin analizinde temel teşkil eden güçlü bir yaklaşımdır. Hem teorik hem de uygulamalı alanlarda sağladığı avantajlar, onu mühendislik ve bilimsel hesaplamalar için vazgeçilmez kılar. Özellikle sistem modellemesi ve kontrol tasarımı süreçlerinde, denge noktası çevresinde elde edilen doğrusal modeller, karmaşık sistemleri anlaşılabilir ve yönetilebilir hale getirir. Bununla birlikte, yöntem yalnızca sınırlı bir geçerlilik bölgesinde işe yaradığı için dikkatli uygulanmalıdır.