Matematiksel Modelleme

Matematiksel modelleme, gerçek dünyadaki karmaşık durumların, olayların veya problemlerin matematiksel terimler, yapılar ve ilişkiler kullanılarak ifade edilmesi, analiz edilmesi ve çözüme kavuşturulması sürecidir. Bu kavram, gerçek yaşam ile matematik dünyası arasında bir köprü işlevi görerek, otantik senaryoların matematik diline çevrilmesini ve elde edilen matematiksel sonuçların tekrar gerçek bağlamda yorumlanmasını içeren döngüsel bir metodolojidir.

Kuramsal Temeller

Literatürde matematiksel modelleme, öğrencilerin gerçek dünya problemlerini çözmek için matematiksel bilgiyi uyguladıkları bir süreç olarak tanımlanırken, "matematiksel model" kavramı bu sürecin sonucunda ortaya çıkan ve gerçekliği temsil eden sembolik ürünler (formüller, grafikler, denklemler vb.) olarak ifade edilmektedir. Dolayısıyla modelleme, statik bir bilgi bütünü olmaktan ziyade, bir durumun işleyişini ve yapısını anlamlandırabilmek için sembolik matematik diline aktarılarak ifade edildiği dinamik bir yeterlik alanıdır.

Matematiksel modellemenin temelinde, ele alınan durumun "kararlı" veya "kısmi kararlı" bir yapı göstermesi gerekliliği yatmaktadır. Doğada ve sosyal yaşamda her durum modellenememekte; yalnızca belirli bir örüntü, ilişki veya kurala dayalı kararlı yapılar matematiksel olarak ifade edilebilmektedir. Örneğin, fiziksel yasalar veya nüfus artışı gibi öngörülebilir ve matematiksel kurallarla açıklanabilir (kararlı) durumlar modellemenin konusuyken, kaotik ve tamamen rastlantısal (kararsız) durumlar bu kapsamın dışında kalmaktadır.^【1】 Modelleme sadece fen bilimleri gibi doğal olaylarla sınırlı olmayıp, seçim sistemleri veya fiyatlandırma tarifeleri gibi insan yapımı sosyal sistemlerin kurallarının belirlenmesinde de etkin bir rol oynamaktadır.

Modelleme Süreci

Matematiksel modelleme, doğrusal bir ilerleyişten ziyade iteratif (tekrarlı) ve döngüsel bir yapıya sahiptir. Bu süreç, gerçek bir problem durumuyla karşılaşılmasıyla başlar ve bu durumun zihinsel olarak yapılandırılmasıyla devam eder. Sürecin temel aşamaları; gerçek hayat probleminin anlaşılması, durumun sadeleştirilerek değişkenlerin belirlenmesi, bu değişkenler arasındaki ilişkilerin matematiksel terimlere dökülmesi (matematikselleştirme), matematiksel işlemlerle çözüm üretilmesi, elde edilen sonucun gerçek hayat bağlamında yorumlanması ve modelin geçerliliğinin doğrulanmasını içermektedir,.

Teorik altyapıda bu süreci açıklayan çeşitli döngüler önerilmektedir. Erken dönem yaklaşımlarında daha doğrusal adımlar öngörülürken, güncel modeller (örneğin Borromeo Ferri veya Blum ve Leiß döngüleri) basamaklar arasında geri dönüşlere ve düzeltmelere imkan tanıyan esnek yapılar sunmaktadır.^【2】Bu döngülerde birey, gerçek dünyadan (gerçek durum) matematik dünyasına (matematiksel model) geçiş yapar, matematiksel işlemlerle bir sonuca ulaşır (matematiksel sonuç) ve bu sonucu tekrar gerçek dünyaya (gerçek sonuç/yorum) taşıyarak problemin çözülüp çözülmediğini denetlemektedir. Doğrulama aşamasında modelin yetersiz olduğu görülürse, süreç başa dönerek varsayımlar gözden geçirilir ve model revize edilmektedir.

Yeterlik Boyutları

Matematiksel modelleme yeterliği, bireyin gerçek yaşam problemlerini matematiksel olarak ifade edebilme, uygun modeller geliştirebilme ve bu modelleri bağlam içinde kullanabilme kapasitesini ifade eder. Bu yeterlik, sadece bilişsel becerilerle sınırlı olmayıp, üstbilişsel, duyuşsal ve sosyal boyutları da içeren çok bileşenli bir yapıdır. Bilişsel boyutta; problemi anlama, sadeleştirme, matematikselleştirme, matematiksel olarak çalışma, yorumlama ve doğrulama gibi alt yeterlikler bulunmaktadır.

Üstbilişsel boyut, bireyin modelleme sürecinde kendi düşünme süreçlerini planlaması, izlemesi ve değerlendirmesini içerirken; duyuşsal boyut, motivasyon, istek ve öz-yeterlik gibi faktörleri kapsamaktadır. Ayrıca modelleme etkinlikleri genellikle grup çalışması gerektirdiğinden, iletişim kurma, fikirleri tartışma ve ortak karar alma gibi sosyal yeterlikler de sürecin ayrılmaz bir parçasıdır,. Araştırmalar, öğrencilerin genellikle problemi anlama basamağında daha başarılı olduklarını, ancak sadeleştirme, matematikselleştirme ve doğrulama gibi üst düzey bilişsel süreçlerde zorlandıklarını göstermektedir.

İlgili Kavramlarla İlişkisi

Matematiksel modelleme, problem çözme ve soyutlama kavramlarıyla yakından ilişkili olmakla birlikte, onlardan yapısal olarak ayrışmaktadır. Problem çözme genel bir şemsiye kavram iken, matematiksel modelleme gerçek hayat durumlarını temel alması ve "gerçeklik" ilkesine bağlılığı ile problem çözmenin özel ve daha kapsamlı bir türü olarak değerlendirilmektedir. Geleneksel sözel problemler genellikle verilerin hazır sunulduğu, tek bir doğru cevabı olan ve yapay kurgular içerirken; modelleme problemleri verilerin dağınık veya eksik olabildiği, varsayımlarda bulunmayı gerektiren ve birden fazla çözüm yoluna imkan tanıyan açık uçlu yapılardır.

Soyutlama ile ilişkisi bağlamında ise modelleme, gerçek hayat durumlarının ortak özelliklerinin fark edilerek zihinsel bir nesne haline getirilmesi sürecini desteklemektedir. Bir durumun modellenmesi, o durumdaki değişmezlerin ve ilişkilerin (örneğin bir fonksiyonun veya örüntünün) fark edilmesini gerektirdiğinden, modelleme süreci deneysel soyutlamayla tam bir uyum içindedir.

Etkinliklerinin Tasarımı ve İlkeleri

Eğitim ortamlarında kullanılan matematiksel modelleme etkinliklerinin niteliği, öğrencilerin bu becerileri kazanmasında belirleyicidir. Etkili bir model oluşturma etkinliği, rutin olmayan, gerçek yaşamla ilişkili ve öğrencilerin kendi düşünme süreçlerini ortaya koymalarına fırsat veren yapıda olmalıdır.

Etkinliklerin tasarımında Lesh ve arkadaşlarının belirlediği altı temel prensip öne çıkmaktadır:

1. Etkinlik, öğrencilerin bir yapı veya sistem oluşturmasıdır (Model Oluşturma),

2. Bağlam öğrencilerin deneyimleriyle örtüşen gerçekçi bir durum olmasıdır (Gerçeklik)

3. Öğrenciler kendi çözümlerini değerlendirebilmesidir (Öz Değerlendirme)

4. Çözüm süreci yazılı olarak açıklanmalıdır (Model Dokümantasyonu)

5. Üretilen model benzer başka durumlara da uyarlanabilmelidir (Model Genelleme)

6. Oluşturulan model basit ama işlevsel olmalıdır (Etkili Prototip)

Eğitim Bağlamında Kullanımı

Matematiksel modellemenin öğretimi, öğrenci merkezli ve süreç odaklı bir yaklaşımı gerektirmektedir. Öğretmenin rolü, doğrudan bilgi aktarmaktan ziyade, öğrencilerin modelleme sürecindeki düşüncelerini destekleyen bir rehber (kolaylaştırıcı) olmaktadır. Değerlendirme süreci ise, sadece nihai ürünün (sonucun) doğruluğuna değil, tüm modelleme sürecinin kalitesine odaklanmalıdır. Bu amaçla, öğrencilerin varsayımlarını, stratejilerini ve doğrulama süreçlerini ölçebilen dereceli puanlama anahtarları (rubrikler), gözlem formları, akran değerlendirmeleri ve proje dosyaları gibi çoklu değerlendirme araçlarının kullanılması önerilmektedir. Araştırmalar, modelleme yeterlikleri ile matematik başarısı arasında pozitif bir ilişki olduğunu, ancak bu başarının matematiğe yönelik tutumla her zaman doğrudan ilişkili olmayabileceğini ortaya koymaktadır.^【3】