Rasyonel Sayılar

EEDİİTT-PANALDEN ATANDI

Rasyonel sayılar, pay ve paydası tam sayı olan kesirler biçiminde ifade edilebilen sayıların oluşturduğu kümedir. p ve q tam sayılar ile q ≠ 0 koşulu sağlanmak kaydıyla p/q biçiminde yazılabilen her sayı bir rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar kümesi ℚ simgesiyle gösterilir; bu simge "bölüm" anlamına gelen Latince quotient sözcüğünden türetilmiştir. Tam sayılar, doğal sayılar ve sonlu ya da periyodik ondalık sayılar bu kümenin alt kümeleridir (Arnold, "1.3: The Rational Numbers").

Doğal sayıları temsil eden görsel (Yapay zeka ile oluşturulmuştur)

Tarihsel Gelişim

Rasyonel sayıların tarihi, bölme ve ölçme ihtiyacından doğmuştur. Eski Mısır matematikçileri MÖ 1650 yıllarına tarihlenen Rhind Papirüsü'nde birim kesirlerle işlem yapmış; Babilliler ise altmışlık sistemle kesirli büyüklükleri hesaplamıştır. Antik Yunan'da oranları sayısal değil geometrik bir kavram olarak ele alan matematikçiler, irrasyonel sayıların keşfiyle birlikte rasyonel sayıların özel bir sınıf oluşturduğunu fark etmiştir.

"Rasyonel" ifadesi matematikte "oran" anlamındaki ratio sözcüğünden türetilmemiştir; tam tersine, oran anlamındaki ratio, rasyonel sözcüğünden türemiştir. 19. yüzyılda Richard Dedekind ve Karl Weierstrass gibi matematikçiler rasyonel sayıların biçimsel temelini tam sayılar cinsinden sıkı biçimde kurmuştur (Kudryavtsev, "Rational Number").

Biçimsel Tanım

Rasyonel sayıların matematiksel temeli tam sayılardan hareketle inşa edilmektedir.

Denklik Sınıfları ile Tanım

Biçimsel teoride rasyonel sayılar, tam sayılardan oluşan sıralı çiftlerin denklik sınıfları olarak tanımlanmaktadır. b ≠ 0 koşulunu sağlayan (a, b) biçimindeki tüm tam sayı çiftleri göz önüne alınır. İki çift arasında (a, b) ~ (c, d) denkliği, ad = bc koşulunu sağladığında kurulur. Bu yapı sayesinde 1/2, 2/4 ve 3/6 gibi farklı kesir gösterimleri aynı rasyonel sayıyı ifade eder (Kudryavtsev, "Rational Number").

En Sade Biçim

Bir rasyonel sayının pay ve paydası arasında 1'den büyük ortak bir bölen bulunmuyorsa o kesir en sade biçimdedir. Her sıfırdan farklı rasyonel sayının en sade biçimde tek bir gösterimi mevcuttur. Pay ve payda arasındaki en büyük ortak bölen bulunup her ikisi bu sayıya bölündüğünde kesir en sade hâline indirgenir. Örneğin 8/12 kesrinin en büyük ortak böleni 4 olduğundan en sade biçimi 2/3'tür (Arnold, "1.3: The Rational Numbers").

Temel Özellikler

Rasyonel sayılar, dört temel aritmetik işlem bakımından kapalıdır; sıfıra bölme hariç iki rasyonel sayının toplamı, farkı, çarpımı ya da bölümü her zaman bir rasyonel sayı verir. Bu özellik rasyonel sayıları bir cisim (field) yapısına kavuşturur ve ℚ'yu matematiğin temel cebirsel yapılarından biri hâline getirir.

Değişme özelliğine göre a/b + c/d = c/d + a/b eşitliği her zaman sağlanmaktadır. Birleşme özelliği uyarınca toplama ve çarpma işlemlerinde gruplama sırası sonucu değiştirmez. Sıfırdan farklı her rasyonel sayının çarpma tersi vardır: a/b sayısının çarpma tersi b/a'dır ve bunların çarpımı 1 verir. Kesirler toplanırken ortak payda elde edilmeli; ortak payda iki paydanın en küçük ortak katı seçilerek her kesir bu paydaya göre genişletilmelidir (Arnold, "1.3: The Rational Numbers").

Ondalık Gösterim

Rasyonel sayıların ondalık gösterimi ya sonlu basamaklıdır ya da belirli bir noktadan itibaren tekrarlanan bir örüntü içerir. 3/4 = 0,75 sonlu ondalık gösterimin; 1/3 = 0,333… ve 1/7 = 0,142857142857… ise periyodik ondalık gösterimin örnekleridir. Sonlu ya da periyodik olmayan ondalık açılıma sahip sayılar —π ve √2 gibi— rasyonel değil irrasyonel sayılardır. Bu ayrım, rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki temel sınırı oluşturmaktadır (Kudryavtsev, "Rational Number").

Sayılabilirlik ve Yoğunluk

Rasyonel sayılar kümesi, sonsuz olmasına karşın sayılabilir bir kümedir; yani her rasyonel sayı doğal sayılarla bire bir eşleştirilebilir. Georg Cantor 19. yüzyılda bu gerçeği kanıtlamış ve rasyonel sayıları köşegen yöntemiyle numaralandırmıştır. Öte yandan rasyonel sayılar, gerçek sayı doğrusu üzerinde yoğun bir küme oluşturur; herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında mutlaka başka bir rasyonel sayı bulunur. Buna karşın rasyonel sayı doğrusu "tam" değildir; √2 gibi bazı sınırlar rasyonel sayılar içinde tanımlanamaz ve bu durum gerçek sayılar kümesinin inşası için temel bir motivasyon oluşturur (Kudryavtsev, "Rational Number").

Kullanım Alanları

Rasyonel sayılar, günlük yaşamdan ileri matematiğe uzanan geniş bir kullanım alanına sahip bulunmaktadır. Ölçüm ve oran gerektiren her durumda —tarif malzemeleri, para birimleri, hız hesapları— rasyonel sayılar devreye girer. Sayı teorisinde rasyonel katsayılı denklemler ile modüler aritmetik uygulamaları bu küme üzerinde yürütülmektedir. Analizde ise rasyonel sayılar, Dedekind kesimleri ya da Cauchy dizileri aracılığıyla gerçek sayılar kümesinin inşasında temel yapı taşı işlevi görmektedir (Arnold, "1.3: The Rational Numbers").