Gauss-Krüger projeksiyonu, Dünya elipsoidi üzerindeki yüzeyin düzleme konformal (açı koruyan) olarak aktarılmasını sağlayan, transvers silindirik bir projeksiyon türüdür. Bu projeksiyon, merkezi meridyen boyunca ölçeksizdir ve özellikle jeodezik uygulamalarda düzlem dik koordinat sisteminin kurulması amacıyla kullanılır.

Tarihsel Gelişim

Projeksiyonun temeli, 1820–1830 yılları arasında Carl Friedrich Gauss tarafından Hannover'deki üçgenleme sonuçlarının değerlendirilmesi sırasında ortaya konmuştur. Gauss, merkezi meridyen boyunca sabit ölçekli elipsoidal transvers Mercator projeksiyonu üzerinde çalışmış; ancak çalışmalarını yayımlamamıştır. 1912 yılında Louis Krüger, Gauss'un teorisini genişletip ayrıntılı formüllerle tamamlayarak Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene adlı eseriyle projeksiyonu sistematik hale getirmiştir. Bu nedenle projeksiyon, literatürde Gauss-Krüger Projeksiyonu olarak anılmaktadır.

Temel Özellikleri ve Şartları

Projeksiyonun üç temel şartı vardır:

1. Projeksiyon konformaldir (açılar korunur).
2. Merkezi meridyen doğru bir hat olarak projekte edilir.
3. Merkezi meridyenin uzunluğu projeksiyondan sonra değişmez kalır.

Matematiksel olarak bu koşullar aşağıdaki gibi ifade edilir:

$\frac{\partial x}{\partial \varphi} = \frac{\partial y}{\partial \lambda}, \quad \frac{\partial x}{\partial \lambda} = -\frac{\partial y}{\partial \varphi}$

Burada:

• $x$: kuzeye yönelen koordinat (boylam ekseni),
• $y$: doğuya yönelen koordinat (enlem ekseni),
• $φ$: enlem,
• $λ$: boylamdır.

Merkezi meridyen ($λ = 0$) boyunca koşul sağlanır:

Merkezi meridyen için: $\lambda = 0 \Rightarrow y = 0, \quad x = X$

Burada $X$, ekvatordan itibaren merkezi meridyen üzerindeki yay uzunluğunu temsil eder:

$X = \int_0^{\varphi} M(\varphi) \, d\varphi$

Burada $M(φ)$, meridyen eğrilik yarıçapıdır ve elipsoidal parametrelere bağlıdır.

Zonlama ve Koordinat Sistemi

Projeksiyonda doğruluk merkezi meridyene yaklaştıkça artar, uzaklaştıkça bozulma artar. Bu nedenle, Dünya yüzeyi boylam yönünde dar projeksiyon zonlarına ayrılır. Her zonun merkezinde bir merkezi meridyen belirlenir ve bu zonlar genellikle 3° ya da 6° genişliktedir. Her zonun kendine ait bir koordinat sistemi olur. Doğu-batı yönünde çakışan zonlar oluşturularak haritalar arası bütünlük sağlanır.

Projeksiyon düzleminde:

• x-ekseni kuzey yönünde merkezi meridyeni temsil eder,
• y-ekseni doğu yönünde ekvatorun izdüşümüdür.

Zon içindeki y koordinatlarında negatif değer oluşmasını önlemek amacıyla y-koordinatına 500.000 m’lik bir sahte koordinat eklenir.

$y ′ =y+500000 m$

Kullanım Alanları

Gauss-Krüger projeksiyonu, birçok ülkenin ulusal harita sistemlerinde yaygın olarak kullanılır. Özellikle yüksek hassasiyet gerektiren büyük ölçekli haritalarda, mühendislik projelerinde ve jeodezik kontrol ağlarının düzleme indirgenmesinde tercih edilir.